2自治医科大学 2015年 数学 第2問解答・解説

対数の性質を用いると，第一の条件から $$\log_2 a+\log_2 b=\log_2(ab)=1$$ となるので，$ab=2$ である。また第二の条件から $$3=\log_c a+\log_c b=\log_c(ab)=\log_c2$$ である。したがって $c^3=2$ であり，$c=2^{1/3}>1$ となる。

$a,b>0$ に対して $$(a+b)^2-4ab=(a-b)^2\geq 0$$ だから，$a+b\geq 2\sqrt{ab}=2\sqrt2$ である。等号は $a=b=\sqrt2$ のときに成立し，このとき与えられた二条件も満たされる。底 $c$ は $1$ より大きいので，$\log_c x$ は増加する。よって求める最小値は $$\displaystyle 2\log_c(2\sqrt2) =2\log_{2^{1/3}}2^{3/2} =2\cdot\frac{3/2}{1/3} =9.$$

共通の選択肢では $9$ に対応する記号は $\text{ワ}$ である。