2広島大学 2004年 数学 第2問解答・解説

(1) 円の方程式を平方完成すると $$(x-2)^2+(y-1)^2=5$$ となるので、中心は $(2,1)$ である。点 $(3,3)$ への半径の方向ベクトルは $(1,2)$ だから、これを法線ベクトルとする接線は $$(x-3)+2(y-3)=0,$$ すなわち $x+2y-9=0$ である。

(2) 対数の真数条件は $2x-3>0$、$y>0$、$x^2+y^2-4x-2y+5>0$ である。底が $1/2$ の対数関数は減少するから、第1不等式は $$2x-3\le y$$ と同値である。また底が $2$ の対数関数は増加し、 $$x^2+y^2-4x-2y+5=(x-2)^2+(y-1)^2$$ なので、第2不等式は $$0<(x-2)^2+(y-1)^2\le5$$ と同値である。したがって求める領域は、中心 $(2,1)$、半径 $\sqrt5$ の円板のうち直線 $y=2x-3$ 以上の側にある部分から、対数の真数が0となる中心 $(2,1)$ を除いたもの。ただし対数の真数条件から $x>3/2$ である。

図示のため、直線と円周の交点を求める。直線上では $y-1=2(x-2)$ なので、円周上の条件は $$5(x-2)^2=5,$$ すなわち $(x,y)=(1,-1),(3,3)$ である。左側の交点は $x>3/2$ に反する。よって領域は $$\displaystyle \frac32<x\le3,\qquad 2x-3\le y\le1+\sqrt{5-(x-2)^2},\qquad (x,y)\ne(2,1)$$ と表せる。すなわち、直線 $y=2x-3$ と円の上側の弧にはさまれた部分を、縦線 $x=3/2$ の右側で図示する。縦線 $x=3/2$ は含まず、円板内の点 $(2,1)$ は第2対数の真数が0となるため除く。円弧と直線の交点 $(3,3)$ は含む。

(3) $u=x-2,\ v=y-1$ とおくと、(2)の領域は $$\displaystyle u^2+v^2\le5,\qquad v\ge2u,\qquad x=2+u>\frac32$$ を満たし、さらに $(u,v)=(0,0)$ を除く。目的の式は $$ax+y=2a+1+au+v$$ である。

まず $0<a\le1/2$ とする。このとき $$(a^2+1)(u^2+v^2)-(au+v)^2=(u-av)^2\ge0$$ より $$au+v\le\sqrt{5(a^2+1)}.$$ 等号は $u=av$、$u^2+v^2=5$ のとき成立し、この点は $v\ge2u$ と $x>3/2$ を満たす（$a\le1/2$）。したがって最大値は $$2a+1+\sqrt{5(a^2+1)}$$ である。

次に $a\ge1/2$ とする。円板内では $$(u+2v)^2\le5(u^2+v^2)\le25,$$ よって $u+2v\le5$ である。また $2u-v\le0$ だから $$\displaystyle au+v=\frac{a+2}{5}(u+2v)+\frac{2a-1}{5}(2u-v)\le a+2.$$ 等号は $(u,v)=(1,2)$、すなわち $(x,y)=(3,3)$ で成立する。したがってこの場合の最大値は $3a+3$ である。

最大値が4となるには、後者では $3a+3=4$ より $a=1/3$ となるが、これは $a\ge1/2$ に反する。前者では $$2a+1+\sqrt{5(a^2+1)}=4.$$ この範囲では $3-2a>0$ なので両辺を平方して $$5(a^2+1)=(3-2a)^2 \quad\text{すなわち}\quad a^2+12a-4=0.$$ 正の解は $a=2\sqrt{10}-6$ であり、$0<a<1/2$ を満たす。よって求める値は $2\sqrt{10}-6$ である。