4広島大学 2004年 数学 第4問解答・解説

交点では $$A\cos a=\sin(a-\theta),\qquad A\cos b=\sin(b-\theta)$$ が成り立つ。

（1）前の二式の左辺にそれぞれ $\cos b,\cos a$ を掛けると、右辺についても $$\cos b\sin(a-\theta)=\cos a\sin(b-\theta)$$ を得る。また、その左辺から右辺を引くと $$\begin{aligned} \cos b\sin(a-\theta)-\cos a\sin(b-\theta) &=\cos\theta(\cos b\sin a-\cos a\sin b)\\ &=\cos\theta\sin(a-b)\\ &=-\cos\theta\sin(b-a). \end{aligned}$$ 仮定より左辺は $0$ だから、$\cos\theta\sin(b-a)=0$。

（2）$0\leq\theta\leq\pi$ である。まず $\cos\theta\ne0$ なら、（1）より $\sin(b-a)=0$。$x=0$ では $A\cos 0=A>0$、一方 $\sin(-\theta)=-\sin\theta\leq0$ であり、$x=2\pi$ でも値は同じだから、端点に交点はない。したがって $0<a<b<2\pi$ で $0<b-a<2\pi$。よって $b-a=\pi$ である。$\cos\theta=0$ の場合は $\theta=\pi/2$ で、交点の方程式は $$A\cos x=-\cos x,\qquad (A+1)\cos x=0$$ となる。ゆえに $a=\pi/2,\ b=3\pi/2$ で、この場合も $b-a=\pi$。

（3）$C=A+\sin\theta,\ D=\cos\theta$ とおくと、交点を与える差は $$f(x)=A\cos x-\sin(x-\theta)=C\cos x-D\sin x$$ であり、$C>0$ である。（2）と交点が二つであることから $b=a+\pi$ かつ $0<a<\pi$。交点 $a$ の条件 $f(a)=0$ は $C\cos a=D\sin a$ である。よって $\lambda=C/\sin a>0$ とおけば $C=\lambda\sin a,\ D=\lambda\cos a$ となり、 $$Q=A\sin a+\cos(a-\theta)=C\sin a+D\cos a=\lambda>0.$$ したがって $f(a+\pi/2)=-Q<0$。$a<x<b$ の範囲に交点はないので、この範囲では $f(x)<0$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=-\int_a^b f(x)\,dx\\ &=-\left[A\sin x+\cos(x-\theta)\right]_a^{a+\pi}\\ &=2\left(A\sin a+\cos(a-\theta)\right). \end{aligned}$$

（4）$C=\lambda\sin a,\ D=\lambda\cos a$ より $$Q^2=\lambda^2=C^2+D^2 =(A+\sin\theta)^2+\cos^2\theta =A^2+2A\sin\theta+1.$$ （3）から $S=2Q$ なので $$S^2=4(A^2+2A\sin\theta+1).$$

（5）$A>0$ であり、$0\leq\theta\leq\pi$ では $\sin\theta\leq1$、等号は $\theta=\pi/2$ のときに限る。（4）より $S$ はこのとき最大となり、 $$\displaystyle S_{\max}=2\sqrt{A^2+2A+1}=2(A+1).$$