20自治医科大学 2015年 数学 第20問解答・解説

設問の式を $$E_n=\sqrt{(n+2)(n+3)}-\sqrt{(n-2)(n-3)}$$ とおく。$n\ge 3$ では両方の根号の中が非負である。共役な式を掛けて分母を有理化すると、 $$\displaystyle \begin{aligned} E_n &=\frac{(n+2)(n+3)-(n-2)(n-3)} {\sqrt{(n+2)(n+3)}+\sqrt{(n-2)(n-3)}}\\ &=\frac{(n^2+5n+6)-(n^2-5n+6)} {\sqrt{n^2+5n+6}+\sqrt{n^2-5n+6}}\\ &=\frac{10n}{\sqrt{n^2+5n+6}+\sqrt{n^2-5n+6}}. \end{aligned}$$ $n>0$ なので分母の各項から $n$ をくくると、 $$\displaystyle E_n=\frac{10}{\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{6}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{5}{n}+\frac{6}{n^2}}}.$$ $n\to\infty$ のとき、分母の各平方根は $1$ に近づく。したがって $$\displaystyle a=\lim\limits _{n\to\infty}E_n=\frac{10}{1+1}=5.$$ よって極限値は $5$ であり、選択記号は（ハ）である。