6自治医科大学 2015年 数学 第6問解答・解説

接線条件を微分を使わずに導く。二次曲線と直線の交点の方程式で、接点が重解になる条件を用いる。

点 $A=(p,p^2)$ を通る傾き $m$ の直線を $$y=p^2+m(x-p)$$ とおく。これと $C_1:y=x^2$ との交点の $x$ 座標は $$x^2-p^2-m(x-p)=(x-p)(x+p-m)=0$$ を満たす。$x=p$ が接点であり重解だから、第2因子も $x=p$ で $0$ となる。よって $m=2p$ であり、$C_1$ の接線は $$y=2px-p^2$$ である。

次に $\displaystyle c=a+\dfrac{a^3}{2}$ とおき、点 $B=(q,q^2-aq+c)$ を通る傾き $n$ の直線を $$y=q^2-aq+c+n(x-q)$$ とおく。これと $C_2:y=x^2-ax+c$ との交点の $x$ 座標は $$x^2-ax+c-\{q^2-aq+c+n(x-q)\}=(x-q)(x+q-a-n)=0$$ を満たす。$x=q$ が接点で重解なので、第2因子に $x=q$ を代入して $n=2q-a$ を得る。したがって $C_2$ の接線は $$y=q^2-aq+c+(2q-a)(x-q)=(2q-a)x+c-q^2$$ である。

この二つの接線が同じ直線 $L$ なので、傾きと切片がそれぞれ等しい。よって $$\displaystyle 2p=2q-a,\qquad -p^2=a+\frac{a^3}{2}-q^2.$$ 前者から $\displaystyle q-p=\dfrac a2$、後者から $\displaystyle q^2-p^2=a+\dfrac{a^3}{2}$ を得る。ここで $a>0$ だから、差の平方を因数分解して $a$ で割ると $$\displaystyle \frac a2(p+q)=a\left(1+\frac{a^2}{2}\right),\qquad p+q=2+a^2.$$ したがって $$p+q-a^2=2.$$ 確認として、$\displaystyle p=1+\dfrac{a^2}{2}-\dfrac a4$、$\displaystyle q=1+\dfrac{a^2}{2}+\dfrac a4$ とすれば、傾き条件を満たし、 $$\displaystyle q^2-p^2=(q-p)(q+p)=\frac a2(2+a^2)=a+\frac{a^3}{2}$$ より切片条件も満たす。共通選択肢で $2$ に対応する記号は $(\text{サ})$ である。