4自治医科大学 2015年 数学 第4問解答・解説

$x=2+\sqrt{3},\ y=2-\sqrt{3}$ より、 $$xy=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=1,\qquad x+y=4.$$ したがって $x,y\ne 0$ である。 $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right) &=\frac{1}{2}\cdot\frac{y^2+x^2}{xy} =\frac{1}{2}(x^2+y^2)\\ &=\frac{1}{2}\bigl((x+y)^2-2xy\bigr) =\frac{1}{2}(4^2-2\cdot 1)=7. \end{aligned}$$ よって求める値は $7$ であり、選択肢は $\text{（ヤ）}$ である。