4京都府立医科大学 2016年 数学 第4問解答・解説

(1) 格子点 $(p,q)$ が直線 $L_k$ 上にあるとする。このとき $q=kp$ である。$p=0$ ならば $q=0$ となるので、その格子点は原点である。$p\ne 0$ ならば $k=q/p$ は有理数となり、$k$ が無理数であることに反する。したがって、$L_k$ は原点以外に格子点を通らない。

(2) 直線が $D_n$ 内で通る区画の個数を数える。$n\ge 2$ ならば、縦の境界 $x=n-1,n$ における直線の高さ $k(n-1),kn$ はともに整数ではない。実際、正の整数 $t$ に対して $kt$ が整数ならば $k$ は有理数となるからである。$n=1$ のときは左端が原点だが、$D_1$ では $x>0$ であり、右端の高さ $k$ は整数ではない。

$D_n$ 内で直線が水平格子線 $y=j$（$j$ は整数）を横切るたびに、通る区画は次の一つへ移る。その交点が縦格子線上にもあると格子点を通ることになるが、(1)より原点以外に格子点はない。原点は $D_1$ に含まれない。よって境界上の交点で区画を飛ばしたり重複して数えたりすることはなく、区画数は水平格子線との交点数に $1$ を加えた数である。両端の高さが整数でない場合、交点数は $\lfloor kn\rfloor-\lfloor k(n-1)\rfloor$ である。$n=1$ でも、原点は除いて $0<y<k$ にある水平格子線の本数は $\lfloor k\rfloor-\lfloor 0\rfloor$ であり、同じ式になる。したがって $$a_n=1+\lfloor kn\rfloor-\lfloor k(n-1)\rfloor.$$ ここで $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ とおくと $$\lfloor kn\rfloor-\lfloor k(n-1)\rfloor =k+\{k(n-1)\}-\{kn\}.$$ $0\le \{x\}<1$ より $-1<\{k(n-1)\}-\{kn\}<1$ だから、 $$k-1<\lfloor kn\rfloor-\lfloor k(n-1)\rfloor<k+1.$$ 両辺に $1$ を加えて $k<a_n<k+2$ を得る。

(3) (2)で得た式を $n=1$ から $N$ まで加えると、床関数の項は隣り合うものが消え、 $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{N}a_n =N+\sum\limits _{n=1}^{N}\bigl(\lfloor kn\rfloor-\lfloor k(n-1)\rfloor\bigr) =N+\lfloor kN\rfloor.$$ したがって $$\displaystyle \frac1N\sum\limits _{n=1}^{N}a_n=1+\frac{\lfloor kN\rfloor}{N}.$$ $\lfloor kN\rfloor\le kN<\lfloor kN\rfloor+1$ から $$\displaystyle k-\frac1N<\frac{\lfloor kN\rfloor}{N}\le k.$$ よって $N\to\infty$ とすると、求める極限は $1+k$ である。

(4) $0<k<1$ のとき、 $$0<kn-k(n-1)=k<1$$ なので、$\lfloor kn\rfloor-\lfloor k(n-1)\rfloor$ は $0$ または $1$ である。(2)の式より $a_n$ は $1$ または $2$ であり、$1<k+1<2$ だから $$a_n\ge k+1 \quad\text{すなわち}\quad a_n=2 \quad\text{すなわち}\quad \lfloor kn\rfloor-\lfloor k(n-1)\rfloor=1.$$ この差は $0$ または $1$ であるから、その和は $1$ となる項の個数に等しい。従って $$\displaystyle A_N=\sum\limits _{n=1}^{N}\bigl(\lfloor kn\rfloor-\lfloor k(n-1)\rfloor\bigr)=\lfloor kN\rfloor,$$ ゆえに $$\displaystyle k-\frac1N<\frac{A_N}{N}=\frac{\lfloor kN\rfloor}{N}\le k.$$ $N\to\infty$ として、極限は $k$ となる。

検算 例えば $0<k<1$ なら、$n=1$ の式は $a_1=1+\lfloor k\rfloor=1$ となり、最初の帯に水平格子線を横切らない場合と一致する。また、(3)での和と(4)での該当個数はいずれも床関数の差がともに望遠和となり、それぞれ $N+\lfloor kN\rfloor$ と $\lfloor kN\rfloor$ に正確に一致する。極限は両方とも $$\displaystyle k-\frac1N<\frac{\lfloor kN\rfloor}{N}\le k$$ という同じ評価で確認できる。