22自治医科大学 2015年 数学 第22問解答・解説

$|a|<2$ より、分母は $$\displaystyle x^2-ax+1=\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+1-\frac{a^2}{4}>0$$ となる。したがって、すべての実数 $x$ で $f(x)\le 2$ となる条件は $$\displaystyle \frac{2ax}{x^2-ax+1}\le 2 \quad\text{すなわち}\quad x^2-2ax+1\ge 0$$ である。

$f(x)$ の最大値が $2$ であるためには、この不等式がすべての実数 $x$ で成り立ち、さらに等号となる実数 $x$ が存在しなければならない。二次式 $x^2-2ax+1$ がすべての実数で非負であるための条件は判別式 $\Delta\le 0$、実数解をもつための条件は $\Delta\ge 0$ だから、ここでは $\Delta=0$ である。 $$\Delta=(-2a)^2-4=4(a^2-1)=0 \quad\text{より}\quad a=1\ \text{または}\ a=-1.$$ いずれも $|a|<2$ を満たし、$x=a$ のとき $x^2-2ax+1=0$ となるので、実際に $f(a)=2$ である。よって $p,q$ は $1,-1$ であり、 $$|p-q|=|1-(-1)|=2.$$ したがって解答記号は $(\text{サ})$ である。