16自治医科大学 2015年 数学 第16問解答・解説

$\overrightarrow{AP}=\boldsymbol p$, $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol b$, $\overrightarrow{AC}=\boldsymbol c$ とおくと、$\overrightarrow{BP}=\boldsymbol p-\boldsymbol b$、$\overrightarrow{CP}=\boldsymbol p-\boldsymbol c$ である。したがって条件式は $$6\boldsymbol p+3(\boldsymbol p-\boldsymbol b)+2(\boldsymbol p-\boldsymbol c)=\boldsymbol 0$$ となり、整理して $$11\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$$ を得る。

辺 $BC$ を $BX:XC=2:3$ に内分する点を $X$ とする。内分点の位置ベクトルより $$\displaystyle \overrightarrow{AX}=\frac{3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}{5}$$ であるから、$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac{5}{11}\overrightarrow{AX}$ となる。$\displaystyle 0<\frac{5}{11}<1$ より、$P$ は線分 $AX$ 上にあり、$AP:PX=5:6$ である。$X$ は $BC$ 上にあるので、$P$ から $BC$ への高さは、$A$ から $BC$ への高さの $\displaystyle \frac{6}{11}$ 倍となる。$\triangle ABC$ と $\triangle PBC$ は底辺を共通に $BC$ とするから、 $$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac{6}{11},\qquad \frac{11S_2}{S_1}=6.$$ したがって答えは $6$（選択肢 $\text{マ}$）である。