17自治医科大学 2015年 数学 第17問解答・解説

赤を $R$、白を $W$ とする。6回目に初めて3個目の赤を取り出して終了するための必要十分条件は、1〜5回目に赤をちょうど2個、白を3個取り出し、6回目に赤を取り出すことである。

まず、1〜5回目に出る5個の玉の組合せは、袋の9個から5個を選ぶ $\displaystyle \binom{9}{5}$ 通りが同様に確からしい。そのうち赤2個・白3個となるのは、赤3個から2個、白6個から3個を選ぶ $\displaystyle \binom{3}{2}\binom{6}{3}$ 通りである。したがって、この条件が起こる確率は $$\displaystyle \frac{\binom{3}{2}\binom{6}{3}}{\binom{9}{5}}=\frac{3\cdot20}{126}=\frac{10}{21}.$$

この条件のもとでは、残りは赤1個、白3個である。よって、6回目に赤を取り出す条件付き確率は $1/4$。したがって $$\displaystyle p=\frac{10}{21}\cdot\frac14=\frac{5}{42},\qquad 42p=5.$$ 確認として、9個の位置のうち赤3個の位置を選ぶ全 $\displaystyle \binom{9}{3}=84$ 通りのうち、6回目が3個目の赤となるのは、6回目を赤の位置とし、最初の5位置から残りの赤2位置を選ぶ $\displaystyle \binom{5}{2}=10$ 通りである。したがって $p=10/84=5/42$ と一致する。選択肢は $\boxed{\text{ハ}}$（5）である。