2群馬大学 2015年 数学 第2問解答・解説

まず $x+y+z=4$ より $$a=x+y=4-z,\qquad 0<z<4.$$ また、逆数の条件に $xyz$ を掛けると $$xy+yz+zx=4xyz.$$ $b=xy$、$a=x+y$ を用いれば $b+za=4bz$ だから $$b(4z-1)=za.$$ $a,z,b$ は正なので $4z-1>0$、すなわち $z>1/4$ であり、 $$\displaystyle b=\frac{za}{4z-1}=\frac{z(4-z)}{4z-1}.$$ これで (1) を得る。

次に、$x,y$ は二次方程式 $$u^2-au+b=0$$ の2根である。$a>0$、$b>0$ なので、$x,y$ が正の実数となるための必要十分条件は判別式 $D=a^2-4b\ge0$ である。$1/4<z<4$ を用いると $$\displaystyle D=(4-z)^2-\frac{4z(4-z)}{4z-1} =\frac{(4-z)(-4z^2+13z-4)}{4z-1}.$$ 分母と $4-z$ は正だから、$D\ge0$ は $$-4z^2+13z-4\ge0$$ と同値である。この二次式の根は $(13\pm\sqrt{105})/8$ なので $$\displaystyle \frac{13-\sqrt{105}}8\le z\le\frac{13+\sqrt{105}}8.$$ この区間は $1/4<z<4$ に含まれる。

逆に、この範囲の $z$ をとり、$x,y$ を $u^2-au+b=0$ の2根とすれば、$D\ge0$ であり、根の和 $a>0$、積 $b>0$ から $x,y$ は正である。さらに $$\displaystyle x+y+z=a+z=4,\qquad \frac1x+\frac1y+\frac1z=\frac{a}{b}+\frac1z=\frac{4z-1}{z}+\frac1z=4.$$ よってこの範囲のすべての $z$ が実現し、求める範囲は上記の閉区間である。