5群馬大学 2015年 数学 第5問解答・解説

(1) 与えられた等式を微分する。$f'$ は連続なので積分の微分ができ、すべての実数 $x$ について $$\sqrt{1+(f'(x))^2}=e^{-x}+f'(x)$$ を得る。$u=f'(x)$ とおく。右辺は平方根に等しいので非負であり、両辺を二乗して $u^2$ を消去すると $$\displaystyle 1=e^{-2x}+2e^{-x}u,\qquad u=\frac{e^x-e^{-x}}2.$$ この値では $e^{-x}+u=(e^x+e^{-x})/2>0$ であり、さらに $$\displaystyle 1+u^2=\left(\frac{e^x+e^{-x}}2\right)^2$$ なので、二乗前の式も満たす。よって $$\displaystyle f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2+C.$$ 元の式で $x=0$ とすると $0=-1+f(0)$、従って $C=0$。ゆえに $$\displaystyle \boxed{f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2}.$$

(2) 領域は $0\le x\le1$, $0\le y\le f(x)$ である。回転軸から半径 $x$ の細い縦帯を回転すると、高さ $f(x)$、円周 $2\pi x$ の薄い円筒殻になる。これらの体積の和を極限にすると $$\displaystyle V=2\pi\int_0^1 x f(x)\,dx =\pi\int_0^1 x(e^x+e^{-x})\,dx.$$ 部分積分すると原始関数は $(x-1)e^x-(x+1)e^{-x}$ だから $$V=\pi\left[(x-1)e^x-(x+1)e^{-x}\right]_0^1 =\boxed{2\pi(1-e^{-1})}.$$