1群馬大学 2015年 数学 第1問解答・解説

t=$\vec a$$\cdot$$\vec b$=$\cos$$\theta$ とおく。単位ベクトルであることから $$\vec c\cdot\vec d=(\vec a+\vec b)\cdot(-\vec a+2\vec b)=1+t, \quad |\vec c|^2=2+2t,\quad |\vec d|^2=5-4t.$$ -1<t<1 なので $\vec c$,$\vec d$ は非零であり、$\vec c$$\cdot$$\vec d$=1+t>0。二つの角は等しいから $$\displaystyle t=\frac{1+t}{\sqrt{2(1+t)(5-4t)}}.$$ 右辺は正なので t>0。正の両辺を二乗して整理すると $$8t^3-10t^2+t+1=(t-1)(4t+1)(2t-1)=0.$$ 0<t<1 を満たす根は t=1/2。これを角の式へ戻すと両角のcos値は1/2となり、指定範囲内で $\theta$=60^$\circ$。

判定

PASS。計算結果と条件を照合した。