1徳島大学 2015年 数学 第1問解答・解説

(1) 内積の公式から $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos60^\circ=2\cdot1\cdot\frac12=1, \qquad \vec c\cdot\vec a=|\vec c||\vec a|\cos60^\circ=1.$$ また $\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b$ より $$\displaystyle \frac{10}{4}=|\vec c-\vec b|^2 =|\vec c|^2+|\vec b|^2-2\vec b\cdot\vec c =2-2\vec b\cdot\vec c,$$ したがって $\displaystyle \vec b\cdot\vec c=-\frac14$。

(2) $H$ は平面 $ABC$ 上にあるので、実数 $\alpha,\beta,\gamma$ を用いて $$\overrightarrow{OH}=\alpha\vec a+\beta\vec b+\gamma\vec c, \qquad \alpha+\beta+\gamma=1$$ と表せる。さらに $OH\perp AB$ および $OH\perp AC$ であるから、(1)の内積を用いて $$\displaystyle \begin{aligned} 0&=\overrightarrow{OH}\cdot(\vec b-\vec a)=-3\alpha-\frac54\gamma,\\ 0&=\overrightarrow{OH}\cdot(\vec c-\vec a)=-3\alpha-\frac54\beta. \end{aligned}$$ よって $\displaystyle \beta=\gamma=-\frac{12}{5}\alpha$。これと $\alpha+\beta+\gamma=1$ から $$\displaystyle \alpha=-\frac5{19},\qquad \beta=\gamma=\frac{12}{19}.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{OH}=\frac{-5\vec a+12\vec b+12\vec c}{19}}.$$

(3) (1)より $$|AB|^2=|\vec b-\vec a|^2=1+4-2=3, \qquad |AC|^2=3.$$ 従って $AB=AC=\sqrt3$。二等辺三角形 $ABC$ の高さは $$\displaystyle \sqrt{3-\left(\frac{BC}{2}\right)^2} =\sqrt{3-\left(\frac{\sqrt{10}}4\right)^2} =\frac{\sqrt{38}}4,$$ ゆえに底面積は $$\displaystyle S_{ABC}=\frac12\cdot\frac{\sqrt{10}}2\cdot\frac{\sqrt{38}}4 =\frac{\sqrt{95}}8.$$ (2)のベクトルと(1)の内積を使うと $$\displaystyle \begin{aligned} |OH|^2 &=\frac{1}{19^2}|-5\vec a+12\vec b+12\vec c|^2\\ &=\frac{25\cdot4+144+144-120-120+288(-1/4)}{19^2} =\frac{76}{19^2}. \end{aligned}$$ したがって $|OH|=2\sqrt{19}/19$。四面体の体積は $$\displaystyle \boxed{V=\frac13 S_{ABC}|OH|=\frac{\sqrt5}{12}}.$$