4群馬大学 2015年 数学 第4問解答・解説

(1) $n$ が奇数なら $a_n=1$、偶数なら $a_n=4$。したがって $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{7^n} =\sum\limits _{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{7^{2k+1}}+\frac{4}{7^{2k+2}}\right) =\frac{\frac17+\frac4{49}}{1-\frac1{49}} =\frac{11}{48}.$$

(2) $\displaystyle R_0=\frac38$、$k\ge1$ に対して $$\displaystyle R_k=\sum\limits _{n=k+1}^{\infty}\frac{b_n}{7^{n-k}}$$ とおく。$0\le b_n\le6$ より $\displaystyle 0\le R_k\le6\sum\limits _{j=1}^{\infty}7^{-j}=1$ であり、$7R_{k-1}=b_k+R_k$ が成り立つ。まず $$\displaystyle 7R_0=\frac{21}{8}=2+\frac58$$ だから、$\displaystyle b_1=2,\ R_1=\frac58$。次に $$\displaystyle 7R_1=\frac{35}{8}=4+\frac38$$ だから、$\displaystyle b_2=4,\ R_2=\frac38$。同じ計算が繰り返され、$b_n=2$（$n$ 奇数）、$b_n=4$（$n$ 偶数）となる。よって $b_3=2$ で、一般項は $$b_n=3+(-1)^n.$$ 実際、この数列について $$\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{7^n} =\frac{\frac27+\frac4{49}}{1-\frac1{49}} =\frac38$$ となり、条件を満たす。