4金沢大学 2012年 数学 第4問解答・解説

隣り合う2回の位置を i,i+1 (1$\le$ i$\le$ n-1) と決めると、その2回が6で、残り n-2 回がすべて6以外である確率は $\displaystyle \left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^{n-2}$ である。ちょうど2回だけ6が出るため、隣接位置 i は一意に定まり、これら n-1 個の事象は互いに排反である。したがって $$\displaystyle p_n=(n-1)\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^{n-2}.$$ よって $$\displaystyle p_3=2\cdot\frac1{36}\cdot\frac56=\frac5{108},\qquad p_4=3\cdot\frac1{36}\cdot\left(\frac56\right)^2=\frac{25}{432}.$$ また $$\displaystyle \begin{aligned} p_{n+1}-\frac56p_n &=\frac1{36}\left[n\left(\frac56\right)^{n-1}-(n-1)\left(\frac56\right)^{n-1}\right]\\ &=\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^{n-1}. \end{aligned}$$ $r=5/6$ とおくと、$m=n-2$ に対して $$\displaystyle s_n=\frac1{36}\sum\limits _{k=1}^{m}(k+1)r^k.$$ 有限和の公式 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{m}r^k=\frac{r(1-r^m)}{1-r},\qquad \sum\limits _{k=1}^{m}kr^k=\frac{r\{1-(m+1)r^m+mr^{m+1}\}}{(1-r)^2}$$ を用いる。$|r|<1$ かつ $mr^m\to0$ なので $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}s_n =\frac1{36}\left(\frac{r}{(1-r)^2}+\frac{r}{1-r}\right) =\frac1{36}(30+5)=\frac{35}{36}.$$