3近畿大学 2010年 数学 第3問解答・解説

近畿大学 2010 問題3

$x_n$ に対応する整数部分を $n$ とする。小数部分条件と整数部分条件から

$$\displaystyle \frac1{x_n}=n+\frac{x_n}{2}.$$

(1)

整理すると $x_n^2+2nx_n-2=0$。二根のうち正の根だけが $0<x<1$ を満たし、

$$\displaystyle \boxed{x_n=\sqrt{n^2+2}-n=\frac{2}{\sqrt{n^2+2}+n}}.$$

実際、この式は $1/x_n=n+x_n/2>n$ を満たすから $0<x_n<1/n\le1$、従って $0<x_n/2<1$。よって $1/x_n$ の整数部分は確かに $n$、小数部分は $x_n/2$ であり、条件に合う解はこの正の根に限る。特に

$$\boxed{x_1=\sqrt3-1}.$$

(2)

上の関係で $x_n>0$ だから

$$\displaystyle \frac1{x_n}=n+\frac{x_n}{2}>n.$$

正の数の逆数を取ると

$$\displaystyle \boxed{x_n<\frac1n}.$$

(3)

各 $k=1,\ldots,n$ で $x_k<1/k$ なので

$$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^n x_k < \sum\limits _{k=1}^n\frac1k \le1+\log_2 n,$$

最後は問題で与えられた不等式 $(*)$ による。従って

$$\boxed{S_n<1+\log_2 n}.$$

(4)(i)

二項定理で展開すると

$$\displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n =1+n\frac1n+\text{（残りの非負の項）}\ge2.$$

底 $2$ の対数は増加関数だから、両辺の $\log_2$ をとると

$$\displaystyle n\log_2\left(1+\frac1n\right)\ge1,$$

従って

$$\displaystyle \boxed{\log_2\left(1+\frac1n\right)\ge\frac1n}.$$

(4)(ii)

$$\displaystyle H_n=\sum\limits _{k=1}^n\frac1k$$

とおく。$n=1$ では $H_1=1=1+\log_2 1$。$H_n\le1+\log_2 n$ が成り立つと仮定すると、(i) より

$$\displaystyle \begin{aligned} H_{n+1} &=H_n+\frac1{n+1}\\ &\le1+\log_2 n+\frac1{n+1}\\ &\le1+\log_2 n+\log_2\left(1+\frac1n\right)\\ &=1+\log_2(n+1). \end{aligned}$$

ここで $1/(n+1)\le1/n\le\log_2(1+1/n)$ を用いた。従って数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ で

$$\displaystyle \boxed{\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n\le1+\log_2 n}.$$

最終結果・解法・確認事項

- (1)：$\displaystyle x_1=\sqrt3-1,\quad x_n=\sqrt{n^2+2}-n=\frac{2}{\sqrt{n^2+2}+n}$。 - (2)：$x_n<1/n$。 - (3)：$S_n<1+\log_2 n$。 - (4)(i)：$\log_2(1+1/n)\ge1/n$。 - (4)(ii)：調和和に関する不等式 $(*)$ を数学的帰納法で証明した。 - 解法：小数部分・整数部分からの二次方程式、逆数比較、二項定理、数学的帰納法。 - 定義域：$n$ は自然数、$0<x_n<1$、小数部分 $0<x_n/2<1$。 - issues：なし。