2近畿大学 2010年 数学 第2問解答・解説

近畿大学 2010 問題2

$BD:DC=1:k$ と解釈する。内分点の公式から

$$\displaystyle D=\left(\frac{3k+1}{k+1},\frac{3}{k+1}\right).$$

(1)

直線 $\ell=AD$ の傾きは

$$\displaystyle \frac{3/(k+1)}{(3k+1)/(k+1)}=\frac{3}{3k+1},$$

従って

$$\displaystyle \boxed{\ell:\ y=\frac{3x}{3k+1}}.$$

標準形は $3x-(3k+1)y=0$。中心 $C(1,3)$ からこの直線までの距離が、接する円 $S$ の半径なので

$$\displaystyle r=\frac{|3-3(3k+1)|}{\sqrt{9+(3k+1)^2}} =\boxed{\frac{9k}{\sqrt{(3k+1)^2+9}}}.$$

(2)

$$\displaystyle r^2=\frac{81k^2}{9k^2+6k+10}.$$

$k>0$ で

$$\displaystyle \frac{d}{dk}(r^2) =\frac{81\{2k(9k^2+6k+10)-k^2(18k+6)\}} {(9k^2+6k+10)^2} =\frac{162k(3k+10)}{(9k^2+6k+10)^2}>0.$$

従って $r$ は連続であり、kが増えるとrも増加する。また

$$\displaystyle \lim\limits _{k\to+0}r=0,\qquad \lim\limits _{k\to+\infty}r=3.$$

どちらの端点も $k>0$ の有限値では達しないため、

$$\boxed{0<r<3}.$$

(3)

$P=(x,y)$ は接点なので、半径 $CP$ は接線 $\ell$ に垂直である。$A,P$ は $\ell$ 上にあるから $\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{CP}$。従って

$$(x,y)\cdot(x-1,y-3)=0,$$

すなわち軌跡は

$$\boxed{x^2+y^2-x-3y=0}.$$

これは $AC$ を直径とする円である。範囲を定めるため $\ell$ の傾きを $m$ とおくと

$$\displaystyle m=\frac{3}{3k+1},\qquad 0<m<3.$$

$P$ は $\ell$ 上なので $y=mx$。円の式に代入すると

$$x\{(1+m^2)x-(1+3m)\}=0.$$

$x=0$ は $A$。しかし $\overrightarrow{AC}=(1,3)$ と $\ell$ の方向 $(1,m)$ の内積は $1+3m>0$ なので、$A$ は垂足ではなく $P\ne A$。従って $x=(1+3m)/(1+m^2)>0$。従って $0<y<3x$ である。逆に軌跡の円上で $0<y<3x$ なら $m=y/x$ は $0<m<3$ を満たし、これに対応する $k=(3/m-1)/3>0$ が一意に定まり、その直線の接点となる。よって軌跡の範囲は

$$\boxed{x^2+y^2-x-3y=0,\qquad 0<y<3x}.$$

(4)

線分 $BC$ の傾きは $(3-0)/(1-3)=-3/2$。点 $P$ が線分 $BC$ 上にあるなら $CP$ は $BC$ に平行であり、$CP\perp\ell$ だから $\ell$ の傾きは $2/3$。よって

$$\displaystyle \frac{3}{3k+1}=\frac23,\qquad k=\frac76.$$

このとき $\ell:y=2x/3$、また $BC$ の式は $3x+2y=9$。連立して

$$\displaystyle P=\left(\frac{27}{13},\frac{18}{13}\right).$$

これは $\displaystyle P=B+\frac6{13}(C-B)$ なので確かに線分 $BC$ 上にある。従って

$$\displaystyle \boxed{k=\frac76,\qquad P=\left(\frac{27}{13},\frac{18}{13}\right)}.$$

最終結果・解法・確認事項

- (1)：$\displaystyle D=\left(\frac{3k+1}{k+1},\frac3{k+1}\right)$、$\displaystyle \ell:y=\frac{3x}{3k+1}$、$\displaystyle r=\frac{9k}{\sqrt{(3k+1)^2+9}}$。 - (2)：半径の範囲は $0<r<3$。 - (3)：軌跡は円 $x^2+y^2-x-3y=0$ 上の $0<y<3x$ の部分。 - (4)：$k=7/6,\ P=(27/13,18/13)$。 - 解法：内分点、点と直線の距離、単調性、接線と半径の垂直、線分の傾き。 - 定義域：$k>0$。従って軌跡の両端点は含まない。 - issues：なし。