4久留米大学 2023年 数学 第4問解答・解説

回転と対称性を用いて $O=(0,0),\ A=(\sqrt6,0)$ と置き、接点を $P=(1/\sqrt6,\sqrt5/\sqrt6)$ としてよい。実際、単位円の $P$ における接線は $P\cdot X=1$ であり、これが $A$ を通る条件から $P_x=1/\sqrt6$、単位円上の条件から $P_y=\sqrt5/\sqrt6$ となる。$Q$ は $P$ の対蹠点なので $$Q=(-1/\sqrt6,-\sqrt5/\sqrt6).$$

接線の長さと $AQ$ は $$AP=\sqrt{AO^2-1}=\sqrt5, \quad AQ^2=(\sqrt6+1/\sqrt6)^2+5/6=9$$ より $AP=\sqrt5,\ AQ=3$。点 $A$ の単位円に対する方べきは $AO^2-1=5$ だから、$AQ\cdot AR=5$ より $AR=5/3$。

直線 $AP$ 上で $S=A+t(P-A)$ と置くと、$A\cdot(P-A)=-5,\ |P-A|^2=5$ である。$S$ が半径 $\sqrt6$ の円上にある条件 $|S|^2=6$ は $$6-10t+5t^2=6,$$ ゆえに $t=0$ または $2$。$S\ne A$ なので $t=2$、すなわち $S=2P-A$。従って $PS=|P-A|=AP$ で、$AP:PS=1:1$。

$T$ は $x$ 軸上で直線 $SQ$ にある。$S_y=2P_y,\ Q_y=-P_y$ なので、$T=(1-s)S+sQ$ とおくと $0=2P_y-3sP_y$、すなわち $s=2/3$。よって $ST:TQ=2:1$。

方べきから $AR/AQ=5/9$ であるから $$\displaystyle R=A+\frac59(Q-A)=\left(\frac{19}{9\sqrt6},-\frac{5\sqrt5}{9\sqrt6}\right).$$ 直線 $PR$ 上の点を $P+\lambda(R-P)$ と表すと、その $y$ 座標が0となるのは $\lambda=9/14$。このとき $$\displaystyle U=\left(\frac{2\sqrt6}{7},0\right),\qquad AU=\sqrt6-\frac{2\sqrt6}{7}=\frac{5\sqrt6}{7}.$$

$U$ は $C_2$ の内部にあり、$OU=2\sqrt6/7$。直線上で円と交わる点を $D,E$ とすると、弦の積より $UD\cdot UE=\left(\sqrt6\right)^2-OU^2$ である（弦の中点を $M$ とすれば $UD\cdot UE=DM^2-UM^2=6-OM^2-UM^2=6-OU^2$）。従って $$\displaystyle \boxed{DU\times EU=6-\frac{24}{49}=\frac{270}{49}}.$$ 以上より $$\displaystyle \boxed{AP=\sqrt5,\ AQ=3,\ AR=\frac53,\ AP:PS=1:1,\ ST:TQ=2:1,\ AU=\frac{5\sqrt6}{7},\ DU\times EU=\frac{270}{49}}.$$