5久留米大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) $x>0$ として両辺を $x$ で微分する。積分の上端は $\log x$ だから $$\displaystyle \frac{f(\log x)}{x}=2.$$ $u=\log x$ と置けば $x=e^u$ なので、$f(u)=2e^u$。従って $$\boxed{f(x)=2e^x}.$$

(2) 定数 $\displaystyle A=\int_1^2 f(t)\,dt,\ B=\int_1^2 t f(t)\,dt$ とおく。与式から $$f(x)=(A-2)x+(B+4)$$ となるので $f(x)=mx+b$ とおける。これを $A,B$ の積分にも用いると $$\displaystyle A=\frac32m+b,\qquad B=\frac73m+\frac32b.$$ 一方 $m=A-2,\ b=B+4$ だから $$\displaystyle b=2-\frac12m,\qquad b=-\frac{14}{3}m-8.$$ 両式から $m=-12/5,\ b=16/5$ を得る。従って $$\displaystyle \boxed{f(x)=\frac{-12x+16}{5}}.$$

(3) 再び $\displaystyle A=\int_1^2 f(t)\,dt,\ B=\int_1^2 t f(t)\,dt$ とおく。与式を微分すると $$\displaystyle \frac{f(\log x)}x-A=2.$$ よって $f(x)=c e^x$ とおけ、$c=A+2$ である。ここで $$\displaystyle A=c(e^2-e),\qquad B=c\int_1^2te^t\,dt=ce^2$$ だから $c=c(e^2-e)+2$、すなわち $$\displaystyle c=-\frac2{e^2-e-1},\qquad f(x)=-\frac{2e^x}{e^2-e-1}.$$ また元の式の左辺は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_1^{\log x}ce^t\,dt-\int_1^2(x+t)ce^t\,dt &=c(x-e)-xA-B\\ &=c(1-e^2+e)x-c(e+e^2)\\ &=2x+\frac{2e^2+2e}{e^2-e-1}. \end{aligned}$$ 従って $$\displaystyle \boxed{f(x)=-\frac{2e^x}{e^2-e-1},\qquad a=\frac{2e^2+2e}{e^2-e-1}}.$$