1久留米大学 2023年 数学 第1問解答・解説

$d=\vec a\cdot\vec b$ とおき、$A=|\vec a|^2,\ B=|\vec b|^2$ とする。与えられた2条件を2乗すると $$A+B-2d=1,\qquad 9A+4B+12d=9$$ である。これを解くと $$A=1-4d,\qquad B=6d.$$ したがって (1) は $$\boxed{|\vec a|^2=1-4\vec a\cdot\vec b,\qquad |\vec b|^2=6\vec a\cdot\vec b}.$$

(2) $B\ge0$ より $d\ge0$。さらに、零ベクトルを含む場合は $d=0$ であり、それ以外の場合は二つのベクトルのなす角を $\theta$ として $d^2=AB\cos^2\theta$ と $\cos^2\theta\le1$ から $d^2\le AB$ である。$d>0$ のときこれに $A=1-4d,\ B=6d$ を代入して $$\displaystyle d^2\le6d(1-4d)\quad\text{ならば}\quad d\le\frac6{25}.$$ $d=0$ も可能である。上の条件が十分であることも確認する。$d=0$ なら $\vec b=\vec0,\ |\vec a|=1$ とできる。$0<d\le6/25$ なら $A=1-4d>0, B=6d>0$ で $d^2\le AB$ だから、例えば $$\displaystyle \vec b=(\sqrt B,0),\qquad \vec a=\left(\frac d{\sqrt B},\sqrt{A-\frac{d^2}{B}}\right)$$ とすれば所定の内積と長さをもつ。従って範囲は $$\displaystyle \boxed{0\le\vec a\cdot\vec b\le\frac6{25}}.$$

(3) $$|\vec a+\vec b|^2=A+B+2d=1+4d.$$ これは $0\le d\le6/25$ で増加するので、最小値は $d=0$ のとき $1$、最大値は $d=6/25$ のとき $\sqrt{49/25}=7/5$ である。いずれの端点も (2) で構成可能と確認したから、 $$\displaystyle \boxed{\text{最大値 }\frac75,\qquad\text{最小値 }1}.$$