6愛媛大学 2015年 数学 第6問解答・解説

準備：各頂点の座標 平行六面体 $OABC\text{-}DEFG$ において，底面 $OABC$ は平行四辺形（頂点の順が $O,A,B,C$）なので，対角線 $OB$ の中点は対角線 $AC$ の中点と一致し， $$\vec{OB}=\vec{OA}+\vec{OC}=(3,0,0)+(-1,6,-2)=(2,6,-2),\qquad B(2,6,-2)$$ である。また，頂点 $O,A,B,C$ を頂点 $D,E,F,G$ にそれぞれ対応させる側稜 $OD,AE,BF,CG$ が，同じ平行移動ベクトル $\vec{v}=\vec{OD}=(t,-2,4)$ を表すから， $$E=A+\vec v=(t+3,-2,4),\quad F=B+\vec v=(t+2,4,2),\quad G=C+\vec v=(t-1,4,2)$$ であり，特に $$\vec{DE}=\vec{OA}=(3,0,0),\qquad \vec{DG}=\vec{OC}=(-1,6,-2)$$ が成り立つ（この2式は以降で繰り返し使う）。点 $P$ が平行四辺形 $DEFG$ の周および内部にあることは，実数 $p,q\ (0\le p\le 1,\ 0\le q\le 1)$ を用いて $$\vec{DP}=p\,\vec{DE}+q\,\vec{DG}=p\,\vec{OA}+q\,\vec{OC}$$ と表せることと同値である。

(1) 平面 $OABC$ に垂直な単位ベクトル $\vec u=(x,y,z)$ が平面 $OABC$（$\vec{OA},\vec{OC}$ が張る平面）に垂直であるとは， $$\vec u\cdot\vec{OA}=0,\qquad \vec u\cdot\vec{OC}=0$$ が成り立つことである。 $$\vec u\cdot\vec{OA}=3x=0 \ \text{より}\ x=0.$$ $$\displaystyle \vec u\cdot\vec{OC}=-x+6y-2z=0 \ \text{より}\ 6y-2z=0\ (x=0\text{ より})\ \text{より}\ y=\frac{z}{3}.$$ さらに $|\vec u|=1$ より $$\displaystyle x^2+y^2+z^2=\left(\frac{z}{3}\right)^2+z^2=\frac{10}{9}z^2=1 \ \text{より}\ z^2=\frac{9}{10} \ \text{より}\ z=\pm\frac{3}{\sqrt{10}}.$$ $z$ 成分が正となるものを選ぶと $\displaystyle z=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$，$\displaystyle y=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ であるから， $$\displaystyle \boxed{\vec u=\left(0,\ \frac{1}{\sqrt{10}},\ \frac{3}{\sqrt{10}}\right)=\left(0,\ \frac{\sqrt{10}}{10},\ \frac{3\sqrt{10}}{10}\right)}$$ （検算：$\displaystyle 0^2+\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2+\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2=\frac{1+9}{10}=1$，$\vec u\cdot\vec{OA}=0$，$\displaystyle \vec u\cdot\vec{OC}=-0+6\cdot\frac1{\sqrt{10}}-2\cdot\frac3{\sqrt{10}}=0$ を確認できる。）

(2) 線分 $OQ$ の長さ 平面 $\alpha$（$D,E,F,G$ を含む平面）は，平面 $OABC$ を $\vec v=\vec{OD}$ だけ平行移動した平面である（$\vec{DE}=\vec{OA},\ \vec{DG}=\vec{OC}$ より，$\alpha$ は $\vec{OA},\vec{OC}$ と同じ2方向で張られる）。したがって $\alpha$ の法線ベクトルも $\vec u$ であり，$\alpha$ は点 $D$ を通るから，$O$ から $\alpha$ に下ろした垂線の長さ（符号付き距離の絶対値）は $$OQ=\left|\vec{OD}\cdot\vec u\right|$$ で与えられる。 $$\displaystyle \vec{OD}\cdot\vec u=t\cdot 0+(-2)\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}+4\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{-2+12}{\sqrt{10}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}.$$ これは $t$ に依存せず常に正であるから， $$\boxed{OQ=\sqrt{10}}$$ また，このとき $\displaystyle Q=O+OQ\cdot\vec u=\sqrt{10}\left(0,\frac1{\sqrt{10}},\frac3{\sqrt{10}}\right)=(0,1,3)$ となる（$t$ によらず一定の点）。これは(3)(4)で用いる。

(3) 点 $Q$ が平行四辺形 $DEFG$ 内にある $t$ の範囲 $Q(0,1,3)$ が平行四辺形 $DEFG$ の周および内部にあることは，$0\le p\le1,\ 0\le q\le1$ を満たすある実数 $p,q$ に対して $$\vec{DQ}=p\,\vec{OA}+q\,\vec{OC}$$ が成り立つことと同値である。 $$\vec{DQ}=Q-D=(0,1,3)-(t,-2,4)=(-t,\ 3,\ -1).$$ 右辺を成分で書くと $$p\,\vec{OA}+q\,\vec{OC}=p(3,0,0)+q(-1,6,-2)=(3p-q,\ 6q,\ -2q).$$ $z$ 成分：$\displaystyle -1=-2q \text{より} q=\dfrac12$。 $y$ 成分：$3=6q=3$（恒等的に成立，$t$ に無関係）。 $x$ 成分：$\displaystyle -t=3p-q=3p-\dfrac12 \text{より} p=\dfrac{1-2t}{6}$。

したがって，$\displaystyle 0\le q=\dfrac12\le1$ は常に成り立つので，条件は $0\le p\le1$，すなわち $$\displaystyle 0\le \frac{1-2t}{6}\le 1 \ \text{すなわち}\ 0\le 1-2t\le 6 \ \text{すなわち}\ -5\le -2t\le 5 \ \text{すなわち}\ -\frac52\le t\le \frac12.$$ （検算：$\displaystyle t=-\frac52$ のとき $p=1$（辺 $EF$ 上の中点），$\displaystyle t=\frac12$ のとき $p=0$（辺 $DG$ 上の中点）となり，範囲の端点で $Q$ がちょうど周上に来ることと整合する。） $$\displaystyle \boxed{-\frac52\le t\le \frac12}$$

(4) $m$ の値と $S=m$ となる点 $P$ 点 $P$ が平行四辺形 $DEFG$ の周および内部を動くとき，$\vec{OP}=\vec{OD}+p\,\vec{OA}+q\,\vec{OC}\ (0\le p,q\le1)$ と表せる。

まず，$q$ を $\Delta q$ だけ変化させると，$P$ は $\vec{OC}$ 方向（$\vec{DG}=\vec{OC}$ 方向）に $\Delta q\,\vec{OC}$ だけ平行移動する。$\triangle OCP$ の底辺 $OC$ は固定されているから，$P$ が直線 $OC$ に平行な方向へ動いても，$P$ から直線 $OC$ までの距離（＝高さ）は変化しない。よって面積 $S$ は $q$ にはよらず，$p$ のみの関数である。ゆえに $q=0$ として計算してよい。

$q=0$ のとき $$\vec{OP}=\vec{OD}+p\,\vec{OA}=(t+3p,\ -2,\ 4)=:( w,\ -2,\ 4)\quad (w:=t+3p).$$ $\triangle OCP$ の面積は，$\vec a=\vec{OC},\ \vec b=\vec{OP}$ とし，そのなす角を $\theta\ (0<\theta<\pi)$ とすると $$\displaystyle S=\frac12|\vec a||\vec b|\sin\theta,\qquad \cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|},\qquad \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}\ (\ge0)$$ であるから， $$\displaystyle S=\frac12\sqrt{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2}.$$ ここで $$|\vec{OC}|^2=(-1)^2+6^2+(-2)^2=41,$$ $$|\vec{OP}|^2=w^2+(-2)^2+4^2=w^2+20,$$ $$\vec{OC}\cdot\vec{OP}=(-1)w+6(-2)+(-2)(4)=-w-20.$$ よって $$4S^2=41(w^2+20)-(-w-20)^2=41w^2+820-(w^2+40w+400)=40w^2-40w+420.$$ 平方完成すると $$\displaystyle 4S^2=40\left(w-\frac12\right)^2+420-40\cdot\frac14=40\left(w-\frac12\right)^2+410.$$ これは $\displaystyle w=\dfrac12$ のとき最小値 $410$ をとる（$w$ は $p$ の1次式なので，$w$ を自由に動かせる限りこれが真の最小値である）。

$\displaystyle w=t+3p=\dfrac12$ を解くと $$\displaystyle p=\frac{\frac12-t}{3}=\frac{1-2t}{6}$$ であり，これは(3)で求めた $p$（$Q$ に対応する $p$）と一致する。(3)より，$t$ が $\displaystyle -\dfrac52\le t\le\dfrac12$ の範囲にあるとき，この $p$ はちょうど $0\le p\le1$ を満たす。したがって，この範囲の $t$ に対しては，最小値を与える $\displaystyle p=\dfrac{1-2t}{6}$ は $0\le p\le1$ を満たし、平行四辺形 $DEFG$ 内で実現でき， $$\displaystyle 4S_{\min}^2=410 \ \text{より}\ S_{\min}=\frac{\sqrt{410}}{2}.$$ $$\displaystyle \boxed{m=\frac{\sqrt{410}}{2}}$$

次に，$S=m$ となる点 $P$ をすべて求める。上で見たように，$S$ は $q$ に依存しないので，$\displaystyle p=\dfrac{1-2t}{6}$（$q$ は $0\le q\le1$ の任意の値）を満たす点すべてで $S=m$ となる。このときの $\vec{OP}$ の $x$ 座標は $$\displaystyle t+3p=t+3\cdot\frac{1-2t}{6}=t+\frac{1-2t}{2}=\frac{2t+1-2t}{2}=\frac12$$ となり，$t$ の値によらず一定である。したがって，$S=m$ を与える点は $$\displaystyle P=\vec{OD}+p\,\vec{OA}+q\,\vec{OC}=\left(\frac12,\ -2,\ 4\right)+q(-1,6,-2)=\left(\frac12-q,\ -2+6q,\ 4-2q\right)\qquad(0\le q\le1)$$ であり，これは $t$ の値によらず，2点 $$\displaystyle \left(\frac12,-2,4\right)\quad(q=0),\qquad \left(-\frac12,4,2\right)\quad(q=1)$$ を結ぶ線分（両端点を含む）に一致する。すなわち $$\displaystyle \boxed{S=m\text{となる点}Pは，2点\left(\tfrac12,-2,4\right)と\left(-\tfrac12,4,2\right)を結ぶ線分上のすべての点}$$ である。

（検算：$t$ の一例として $t=0$ をとると，$D(0,-2,4),E(3,-2,4),F(2,4,2),G(-1,4,2)$ であり，$\displaystyle \left(\frac12,-2,4\right)$ は辺 $DE$ 上（$\displaystyle 0\le \frac12\le3$），$\displaystyle \left(-\frac12,4,2\right)$ は辺 $GF$ 上（$\displaystyle -1\le-\frac12\le2$）にあって，線分全体が平行四辺形の内部を通ることが確認できる。また，端点 $\displaystyle P=\left(\frac12,-2,4\right)$ について直接 $\displaystyle 4S^2=41\left(\left(\frac12\right)^2+20\right)-\left(-\frac12-20\right)^2=41\cdot20.25-20.5^2=830.25-420.25=410$ となり，$\displaystyle S=\frac{\sqrt{410}}2$ に一致する。同様に $\displaystyle \left(-\frac12,4,2\right)$ でも $4S^2=41\left(0.25+16+4\right)-(0.5+24-4)^2=41\cdot20.25-20.5^2=410$ となり一致する。他方，$\displaystyle t=-\frac52$ のとき $p=1$ となって $\displaystyle \left(\frac12,-2,4\right),\left(-\frac12,4,2\right)$ はそれぞれ辺 $EF$ の両端 $E,F$ に一致し，$\displaystyle t=\frac12$ のとき $p=0$ となって同じ2点がそれぞれ辺 $DG$ の両端 $D,G$ に一致し，範囲の境界でも矛盾なく整合する。）