10愛媛大学 2015年 数学 第10問解答・解説

カードの分類と基本方針

$A$ の $4n+1$ 枚のカードを，値の種類で次の5つに分類する。 $$I_1=\{1,2,\dots,n\}\ (n\text{枚，正の実数}),\quad I_2=\{-1,-2,\dots,-n\}\ (n\text{枚，負の実数}),$$ $$I_3=\{i,2i,\dots,ni\}\ (n\text{枚，正の純虚数}),\quad I_4=\{-i,-2i,\dots,-ni\}\ (n\text{枚，負の純虚数}),\quad \{0\}\ (1\text{枚}).$$ これらは互いに共通部分を持たず，合計 $4n+1$ 枚である。以下 $N=4n+1$ とおく。

カードを一列に無作為に並べる操作は，$A$ の $N$ 枚を無作為に並べる $N!$ 通りの並べ方がすべて同様に確からしい試行である。このとき，任意に固定した位置の組（例えば左から $1,2,3$ 番目）に置かれる値の組 $(X_1,X_2,X_3)$ は，$A$ から相異なる $3$ 個を取り出して並べる $$N(N-1)(N-2)$$ 通りの組がすべて同様に確からしい。したがって，$X_1,X_2,X_3$ の値そのもの（順序に依らない対称な条件）だけで決まる事象を考えるときは，「$\{X_1,X_2,X_3\}$ を $A$ から無作為に選んだ $3$ 元部分集合とみなしてよい」（$2$ 個の場合も同様）。これを以下で繰り返し用いる。

(1) 積 $X_1X_2X_3$ が $0$ となる確率

$A$ の要素で $0$ でないものはすべて（実数でも純虚数でも）$0$ でない複素数だから，積 $X_1X_2X_3=0$ となるのは，$X_1,X_2,X_3$ のうち少なくとも $1$ つが $0$ のカードであるとき，かつそのときに限る。

$0$ のカードはちょうど $1$ 枚であり，並べ方の対称性より，この特定の $1$ 枚が左から $k$ 番目（$k=1,\dots,N$）に来る確率はどの $k$ についても等しく $\displaystyle \dfrac{1}{N}$ である。「左から $1,2,3$ 番目のいずれかに来る」という事象は，これらの互いに排反な $3$ つの事象の和だから， $$\displaystyle P_{(1)}=\frac{3}{N}=\frac{3}{4n+1}.$$

(2) 積 $X_1X_2X_3$ が実数となる確率

$0$ でない実数を $r$，$0$ でない純虚数を $s,t$ とすると， $$\begin{aligned} r\cdot r\cdot r&\text{ は実数},\qquad r\cdot r\cdot s\text{ は0でない純虚数},\\ r\cdot s\cdot t&=r\cdot(st)\text{ は0でない実数} &&(st\text{ は0でない実数}),\\ s\cdot s\cdot(\text{純虚数})&\text{ は0でない純虚数}. \end{aligned}$$ であることから，$X_1,X_2,X_3$ に $0$ のカードが含まれない場合，積が実数となるのは，$3$ 枚のうち純虚数のカードの枚数が $0$ 枚または $2$ 枚のとき（かつそのときに限る）である。また $0$ のカードが含まれれば積は $0$ で実数である。

$0$ でない実数のカードは $I_1\cup I_2$ の $2n$ 枚，純虚数のカードは $I_3\cup I_4$ の $2n$ 枚である。$3$ 枚を選ぶ場合の数の内訳は次のとおり。

・ $0$ を含む：残り $2$ 枚を $0$ 以外の $4n$ 枚から選ぶ：$\displaystyle \dbinom{4n}{2}$ 通り。

・ $0$ を含まず，実数 $3$ 枚：$\displaystyle \dbinom{2n}{3}$ 通り。

・ $0$ を含まず，実数 $1$ 枚・純虚数 $2$ 枚：$\displaystyle \dbinom{2n}{1}\dbinom{2n}{2}$ 通り。

これらを合計すると $$\displaystyle \begin{aligned} \binom{4n}{2}+\binom{2n}{3}+\binom{2n}{1}\binom{2n}{2} &=2n(4n-1)+\frac{2n(n-1)(2n-1)}{3}+2n^2(2n-1)\\ &=2n(4n-1)\left(1+\frac{2n-1}{3}\right)\\ &=\frac{4n(n+1)(4n-1)}{3}. \end{aligned}$$ 一方，全体の場合の数は $$\displaystyle \binom{4n+1}{3}=\frac{(4n+1)(4n)(4n-1)}{6}=\frac{2n(4n+1)(4n-1)}{3}$$ であるから， $$\displaystyle P_{(2)}=\frac{\dfrac{4n(n+1)(4n-1)}{3}}{\dfrac{2n(4n+1)(4n-1)}{3}}=\frac{2(n+1)}{4n+1}.$$

(3) 和 $X_1+X_2$ が実数となる確率

$0$ を含む実数値のカード全体（$I_1\cup I_2\cup\{0\}$，$2n+1$ 枚）から $2$ 枚を選べば，和は実数どうしの和だから常に実数である。

$X_1,X_2$ の一方が純虚数でもう一方が実数（$0$ を含む）であれば，和は虚部が $0$ でない（純虚数側が $0$ でないため）から実数にならない。

$X_1,X_2$ がともに純虚数 $ki,\ k'i$（$k,k'$ は互いに異なる $0$ でない整数で $|k|,|k'|\le n$）のとき，和は $(k+k')i$ であり，これが実数（$=0$）となるのは $k'=-k$ のとき，かつそのときに限る。$I_3\cup I_4$ の中でこのような対 $\{ki,-ki\}$ は $k=1,\dots,n$ の $n$ 通りある。

よって好都合な場合の数は $$\displaystyle \binom{2n+1}{2}+n=n(2n+1)+n=2n(n+1)$$ であり，全体は $\displaystyle \dbinom{4n+1}{2}=\dfrac{(4n+1)(4n)}{2}=2n(4n+1)$ 通りだから， $$\displaystyle P_{(3)}=\frac{2n(n+1)}{2n(4n+1)}=\frac{n+1}{4n+1}.$$

(4) $X_1(X_2+X_3)$ が $0$ となる確率

$A$ の要素はすべて有限な複素数で，積が $0$ になるのは因数のどちらかが $0$ のときに限るから， $$X_1(X_2+X_3)=0 \text{、すなわち } X_1=0 \ \text{または}\ X_2+X_3=0.$$ $X_2+X_3=0$ となるのは，(3) と同様の議論により，$\{X_2,X_3\}$ が実数の対 $\{k,-k\}$（$k=1,\dots,n$）または純虚数の対 $\{ki,-ki\}$（$k=1,\dots,n$）である場合であり，このような対は合わせて $2n$ 通りある（$0$ はこの種の対を作れない：カードは $1$ 枚しかないため）。

事象 $E:\ X_1=0$，事象 $F:\ X_2+X_3=0$ とおく。並べ方の対称性より $$\displaystyle P(E)=\frac{1}{N},\qquad P(F)=\frac{2n}{\binom{N}{2}}=\frac{2n}{\frac{N(N-1)}{2}}=\frac{4n}{N(N-1)}=\frac{1}{N}\quad(\because N=4n+1).$$ $E\cap F$（$X_1=0$ かつ $X_2+X_3=0$）については，$X_1=0$ を固定したとき，$\{X_2,X_3\}$ は残り $4n$ 枚（すべて $0$ でない）から選ぶ一様な $2$ 元部分集合であり，好都合な対（実数対 $n$ 通り＋純虚数対 $n$ 通り）は $2n$ 通りだから， $$\displaystyle P(F\mid E)=\frac{2n}{\binom{4n}{2}}=\frac{2n}{\frac{4n(4n-1)}{2}}=\frac{1}{4n-1},\qquad P(E\cap F)=P(E)P(F\mid E)=\frac{1}{N(4n-1)}.$$ 確率の加法定理により $$\displaystyle P_{(4)}=P(E)+P(F)-P(E\cap F)=\frac{2}{N}-\frac{1}{N(4n-1)}=\frac{2(4n-1)-1}{N(4n-1)}=\frac{8n-3}{(4n+1)(4n-1)}.$$

(5) $X_1(X_2+X_3)$ が実数となる確率

複素数 $z=X_1,\ w=X_2+X_3$ の積 $zw$ が実数となる条件を，$z$ の型で場合分けする。

・ $z=0$ のとき：積は $0$ で常に実数。

・ $z$ が $0$ でない実数のとき：$zw\text{ は実数}\text{、すなわち } w\text{ は実数}$（$w=0$ を含む）。

・ $z$ が $0$ でない純虚数のとき：$z=ci$（$c\neq0$）とすると $zw=ci\cdot w$ であり，これが実数となるのは $w$ の実部が $0$（$w$ が純虚数または $0$）のとき，かつそのときに限る。

（i）$X_1=0$（確率 $\displaystyle \dfrac1N$）：このとき常に好都合。

（ii）$X_1$ が $0$ でない実数（確率 $\displaystyle \dfrac{2n}{N}$）で固定されているとき，残り $4n$ 枚は「$0$ のカード $1$ 枚」「他の $0$ でない実数 $2n-1$ 枚」「純虚数 $2n$ 枚」からなる。好都合な $\{X_2,X_3\}$（$X_2+X_3$ が実数）は

・ 両方とも実数値カード（$0$ を含めて $2n$ 枚）：和は常に実数：$\displaystyle \dbinom{2n}{2}$ 通り。

・ 両方とも純虚数で絶対値が等しく符号が逆（和が $0$）：純虚数は $2n$ 枚すべて残っているので $n$ 通り。

（他の組合せは和の虚部が $0$ でなく不適。）よって好都合な場合の数は $$\displaystyle \binom{2n}{2}+n=n(2n-1)+n=2n^2$$ であり，全体は $\displaystyle \dbinom{4n}{2}=2n(4n-1)$ 通りだから，条件付き確率は $\displaystyle \dfrac{2n^2}{2n(4n-1)}=\dfrac{n}{4n-1}$。

（iii）$X_1$ が $0$ でない純虚数（確率 $\displaystyle \dfrac{2n}{N}$）で固定されているとき，残り $4n$ 枚は「$0$ のカード $1$ 枚」「実数 $2n$ 枚」「他の純虚数 $2n-1$ 枚」からなる。好都合な $\{X_2,X_3\}$（$X_2+X_3$ の実部が $0$）は

・ 両方とも純虚数（残り $2n-1$ 枚から $2$ 枚）：和は常に純虚数（実部 $0$）：$\displaystyle \dbinom{2n-1}{2}$ 通り。

・ 一方が $0$，他方が純虚数の残り：和は純虚数：$2n-1$ 通り。

・ 両方とも実数で絶対値が等しく符号が逆（和が $0$）：$n$ 通り。

（他の組合せは和の実部が $0$ でなく不適。）合計すると $$\displaystyle \binom{2n-1}{2}+(2n-1)+n=(2n-1)(n-1)+(2n-1)+n=n(2n-1)+n=2n^2$$ であり，(ii) と同じ値になる。条件付き確率も同様に $\displaystyle \dfrac{n}{4n-1}$。

以上より $$\displaystyle P_{(5)}=\frac{1}{N}+\frac{2n}{N}\cdot\frac{n}{4n-1}+\frac{2n}{N}\cdot\frac{n}{4n-1} =\frac{1}{N}+\frac{4n^2}{N(4n-1)} =\frac{(4n-1)+4n^2}{N(4n-1)} =\frac{4n^2+4n-1}{(4n+1)(4n-1)}.$$

検算

$n=1$（$A=\{0,1,-1,i,-i\}$，$N=5$）のとき，公式は $$\displaystyle P_{(1)}=\frac35,\quad P_{(2)}=\frac45,\quad P_{(3)}=\frac25,\quad P_{(4)}=\frac13,\quad P_{(5)}=\frac{7}{15}$$ を与える。実際に $5$ 枚から $3$ 枚（(1)(2)），$2$ 枚（(3)），あるいは位置を区別した $3$ 枚の並べ方（(4)(5)）を全て書き出して数え上げても同じ値が得られる（例えば (2) では，$0$ を含む組合せ $\displaystyle \dbinom{4}{2}=6$ 通りに加え，$0$ を含まない組合せ $\{1,-1,i\},\{1,-1,-i\},\{1,i,-i\},\{-1,i,-i\}$ のうち後者 $2$ つ（純虚数がちょうど $2$ 枚）が実数となり，合計 $8$ 通り／全体 $\displaystyle \dbinom{5}{3}=10$ 通りで $\displaystyle \frac{8}{10}=\frac45$ と一致する）。また $n=2,3$ でも同様の数え上げで各式が一致することを確認した。次元・符号についても，$n\to$ 大のとき各確率は0より大きく1より小さい範囲に収まり，(1)<(2)（積が $0$ になる事象は実数になる事象の特殊な場合）や (4)<(5) といった包含関係とも整合する。

カードの分類と基本方針

$A$ の $4n+1$ 枚のカードを，値の種類で次の5つに分類する。 $$I_1=\{1,2,\dots,n\}\ (n\text{枚，正の実数}),\quad I_2=\{-1,-2,\dots,-n\}\ (n\text{枚，負の実数}),$$ $$I_3=\{i,2i,\dots,ni\}\ (n\text{枚，正の純虚数}),\quad I_4=\{-i,-2i,\dots,-ni\}\ (n\text{枚，負の純虚数}),\quad \{0\}\ (1\text{枚}).$$ これらは互いに共通部分を持たず，合計 $4n+1$ 枚である。以下 $N=4n+1$ とおく。

カードを一列に無作為に並べる操作は，$A$ の $N$ 枚を無作為に並べる $N!$ 通りの並べ方がすべて同様に確からしい試行である。このとき，任意に固定した位置の組（例えば左から $1,2,3$ 番目）に置かれる値の組 $(X_1,X_2,X_3)$ は，$A$ から相異なる $3$ 個を取り出して並べる $$N(N-1)(N-2)$$ 通りの組がすべて同様に確からしい。したがって，$X_1,X_2,X_3$ の値そのもの（順序に依らない対称な条件）だけで決まる事象を考えるときは，「$\{X_1,X_2,X_3\}$ を $A$ から無作為に選んだ $3$ 元部分集合とみなしてよい」（$2$ 個の場合も同様）。これを以下で繰り返し用いる。

(1) 積 $X_1X_2X_3$ が $0$ となる確率

$A$ の要素で $0$ でないものはすべて（実数でも純虚数でも）$0$ でない複素数だから，積 $X_1X_2X_3=0$ となるのは，$X_1,X_2,X_3$ のうち少なくとも $1$ つが $0$ のカードであるとき，かつそのときに限る。

$0$ のカードはちょうど $1$ 枚であり，並べ方の対称性より，この特定の $1$ 枚が左から $k$ 番目（$k=1,\dots,N$）に来る確率はどの $k$ についても等しく $\displaystyle \dfrac{1}{N}$ である。「左から $1,2,3$ 番目のいずれかに来る」という事象は，これらの互いに排反な $3$ つの事象の和だから， $$\displaystyle P_{(1)}=\frac{3}{N}=\frac{3}{4n+1}.$$

(2) 積 $X_1X_2X_3$ が実数となる確率

$0$ でない実数を $r$，$0$ でない純虚数を $s,t$ とすると， $$r\cdot r\cdot r\text{ は実数},\qquad r\cdot r\cdot s\text{ は0でない純虚数},\qquad r\cdot s\cdot t=r\cdot(st)\text{ は0でない実数}\ (\because st\text{ は0でない実数}),\qquad s\cdot s\cdot(\text{純虚数})\text{ は0でない純虚数}$$ であることから，$X_1,X_2,X_3$ に $0$ のカードが含まれない場合，積が実数となるのは，$3$ 枚のうち純虚数のカードの枚数が $0$ 枚または $2$ 枚のとき（かつそのときに限る）である。また $0$ のカードが含まれれば積は $0$ で実数である。

$0$ でない実数のカードは $I_1\cup I_2$ の $2n$ 枚，純虚数のカードは $I_3\cup I_4$ の $2n$ 枚である。$3$ 枚を選ぶ場合の数の内訳は次のとおり。

・ $0$ を含む：残り $2$ 枚を $0$ 以外の $4n$ 枚から選ぶ：$\displaystyle \dbinom{4n}{2}$ 通り。

・ $0$ を含まず，実数 $3$ 枚：$\displaystyle \dbinom{2n}{3}$ 通り。

・ $0$ を含まず，実数 $1$ 枚・純虚数 $2$ 枚：$\displaystyle \dbinom{2n}{1}\dbinom{2n}{2}$ 通り。

これらを合計すると $$\displaystyle \binom{4n}{2}+\binom{2n}{3}+\binom{2n}{1}\binom{2n}{2} =2n(4n-1)+\frac{2n(n-1)(2n-1)}{3}+2n^2(2n-1) =2n(4n-1)\left(1+\frac{2n-1}{3}\right) =\frac{4n(n+1)(4n-1)}{3}.$$ 一方，全体の場合の数は $$\displaystyle \binom{4n+1}{3}=\frac{(4n+1)(4n)(4n-1)}{6}=\frac{2n(4n+1)(4n-1)}{3}$$ であるから， $$\displaystyle P_{(2)}=\frac{\dfrac{4n(n+1)(4n-1)}{3}}{\dfrac{2n(4n+1)(4n-1)}{3}}=\frac{2(n+1)}{4n+1}.$$

(3) 和 $X_1+X_2$ が実数となる確率

$0$ を含む実数値のカード全体（$I_1\cup I_2\cup\{0\}$，$2n+1$ 枚）から $2$ 枚を選べば，和は実数どうしの和だから常に実数である。

$X_1,X_2$ の一方が純虚数でもう一方が実数（$0$ を含む）であれば，和は虚部が $0$ でない（純虚数側が $0$ でないため）から実数にならない。

$X_1,X_2$ がともに純虚数 $ki,\ k'i$（$k,k'$ は互いに異なる $0$ でない整数で $|k|,|k'|\le n$）のとき，和は $(k+k')i$ であり，これが実数（$=0$）となるのは $k'=-k$ のとき，かつそのときに限る。$I_3\cup I_4$ の中でこのような対 $\{ki,-ki\}$ は $k=1,\dots,n$ の $n$ 通りある。

よって好都合な場合の数は $$\displaystyle \binom{2n+1}{2}+n=n(2n+1)+n=2n(n+1)$$ であり，全体は $\displaystyle \dbinom{4n+1}{2}=\dfrac{(4n+1)(4n)}{2}=2n(4n+1)$ 通りだから， $$\displaystyle P_{(3)}=\frac{2n(n+1)}{2n(4n+1)}=\frac{n+1}{4n+1}.$$

(4) $X_1(X_2+X_3)$ が $0$ となる確率

$A$ の要素はすべて有限な複素数で，積が $0$ になるのは因数のどちらかが $0$ のときに限るから， $$X_1(X_2+X_3)=0 \text{、すなわち } X_1=0 \ \text{または}\ X_2+X_3=0.$$ $X_2+X_3=0$ となるのは，(3) と同様の議論により，$\{X_2,X_3\}$ が実数の対 $\{k,-k\}$（$k=1,\dots,n$）または純虚数の対 $\{ki,-ki\}$（$k=1,\dots,n$）である場合であり，このような対は合わせて $2n$ 通りある（$0$ はこの種の対を作れない：カードは $1$ 枚しかないため）。

事象 $E:\ X_1=0$，事象 $F:\ X_2+X_3=0$ とおく。並べ方の対称性より $$\displaystyle P(E)=\frac{1}{N},\qquad P(F)=\frac{2n}{\binom{N}{2}}=\frac{2n}{\frac{N(N-1)}{2}}=\frac{4n}{N(N-1)}=\frac{1}{N}\quad(\because N=4n+1).$$ $E\cap F$（$X_1=0$ かつ $X_2+X_3=0$）については，$X_1=0$ を固定したとき，$\{X_2,X_3\}$ は残り $4n$ 枚（すべて $0$ でない）から選ぶ一様な $2$ 元部分集合であり，好都合な対（実数対 $n$ 通り＋純虚数対 $n$ 通り）は $2n$ 通りだから， $$\displaystyle P(F\mid E)=\frac{2n}{\binom{4n}{2}}=\frac{2n}{\frac{4n(4n-1)}{2}}=\frac{1}{4n-1},\qquad P(E\cap F)=P(E)P(F\mid E)=\frac{1}{N(4n-1)}.$$ 確率の加法定理により $$\displaystyle P_{(4)}=P(E)+P(F)-P(E\cap F)=\frac{2}{N}-\frac{1}{N(4n-1)}=\frac{2(4n-1)-1}{N(4n-1)}=\frac{8n-3}{(4n+1)(4n-1)}.$$

(5) $X_1(X_2+X_3)$ が実数となる確率

複素数 $z=X_1,\ w=X_2+X_3$ の積 $zw$ が実数となる条件を，$z$ の型で場合分けする。

・ $z=0$ のとき：積は $0$ で常に実数。

・ $z$ が $0$ でない実数のとき：$zw\text{ は実数}\text{、すなわち } w\text{ は実数}$（$w=0$ を含む）。

・ $z$ が $0$ でない純虚数のとき：$z=ci$（$c\neq0$）とすると $zw=ci\cdot w$ であり，これが実数となるのは $w$ の実部が $0$（$w$ が純虚数または $0$）のとき，かつそのときに限る。

（i）$X_1=0$（確率 $\displaystyle \dfrac1N$）：このとき常に好都合。

（ii）$X_1$ が $0$ でない実数（確率 $\displaystyle \dfrac{2n}{N}$）で固定されているとき，残り $4n$ 枚は「$0$ のカード $1$ 枚」「他の $0$ でない実数 $2n-1$ 枚」「純虚数 $2n$ 枚」からなる。好都合な $\{X_2,X_3\}$（$X_2+X_3$ が実数）は

・ 両方とも実数値カード（$0$ を含めて $2n$ 枚）：和は常に実数：$\displaystyle \dbinom{2n}{2}$ 通り。

・ 両方とも純虚数で絶対値が等しく符号が逆（和が $0$）：純虚数は $2n$ 枚すべて残っているので $n$ 通り。

（他の組合せは和の虚部が $0$ でなく不適。）よって好都合な場合の数は $$\displaystyle \binom{2n}{2}+n=n(2n-1)+n=2n^2$$ であり，全体は $\displaystyle \dbinom{4n}{2}=2n(4n-1)$ 通りだから，条件付き確率は $\displaystyle \dfrac{2n^2}{2n(4n-1)}=\dfrac{n}{4n-1}$。

（iii）$X_1$ が $0$ でない純虚数（確率 $\displaystyle \dfrac{2n}{N}$）で固定されているとき，残り $4n$ 枚は「$0$ のカード $1$ 枚」「実数 $2n$ 枚」「他の純虚数 $2n-1$ 枚」からなる。好都合な $\{X_2,X_3\}$（$X_2+X_3$ の実部が $0$）は

・ 両方とも純虚数（残り $2n-1$ 枚から $2$ 枚）：和は常に純虚数（実部 $0$）：$\displaystyle \dbinom{2n-1}{2}$ 通り。

・ 一方が $0$，他方が純虚数の残り：和は純虚数：$2n-1$ 通り。

・ 両方とも実数で絶対値が等しく符号が逆（和が $0$）：$n$ 通り。

（他の組合せは和の実部が $0$ でなく不適。）合計すると $$\displaystyle \binom{2n-1}{2}+(2n-1)+n=(2n-1)(n-1)+(2n-1)+n=n(2n-1)+n=2n^2$$ であり，(ii) と同じ値になる。条件付き確率も同様に $\displaystyle \dfrac{n}{4n-1}$。

以上より $$\displaystyle P_{(5)}=\frac{1}{N}+\frac{2n}{N}\cdot\frac{n}{4n-1}+\frac{2n}{N}\cdot\frac{n}{4n-1} =\frac{1}{N}+\frac{4n^2}{N(4n-1)} =\frac{(4n-1)+4n^2}{N(4n-1)} =\frac{4n^2+4n-1}{(4n+1)(4n-1)}.$$

検算

$n=1$（$A=\{0,1,-1,i,-i\}$，$N=5$）のとき，公式は $$\displaystyle P_{(1)}=\frac35,\quad P_{(2)}=\frac45,\quad P_{(3)}=\frac25,\quad P_{(4)}=\frac13,\quad P_{(5)}=\frac{7}{15}$$ を与える。実際に $5$ 枚から $3$ 枚（(1)(2)），$2$ 枚（(3)），あるいは位置を区別した $3$ 枚の並べ方（(4)(5)）を全て書き出して数え上げても同じ値が得られる（例えば (2) では，$0$ を含む組合せ $\displaystyle \dbinom{4}{2}=6$ 通りに加え，$0$ を含まない組合せ $\{1,-1,i\},\{1,-1,-i\},\{1,i,-i\},\{-1,i,-i\}$ のうち後者 $2$ つ（純虚数がちょうど $2$ 枚）が実数となり，合計 $8$ 通り／全体 $\displaystyle \dbinom{5}{3}=10$ 通りで $\displaystyle \frac{8}{10}=\frac45$ と一致する）。また $n=2,3$ でも同様の数え上げで各式が一致することを確認した。次元・符号についても，$n\to$ 大のとき各確率は0より大きく1より小さい範囲に収まり，(1)<(2)（積が $0$ になる事象は実数になる事象の特殊な場合）や (4)<(5) といった包含関係とも整合する。