愛媛大学 2015年数学第7問解答・解説

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1問題

愛媛大学2015年度第7問

（理学部・工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く）・医学部） $a$ を実数とし，数列 $\{a_n\}$ および $\{b_n\}$ を $a_1=a,\qquad a_{n+1}= \begin{cases} a_n+1 &(n\text{ が奇数のとき}),\\ 2a_n &(n\text{ が偶数のとき}) \end{cases}$ $b_1=a,\qquad b_{n+1}= \begin{cases} 2b_n &(n\text{ が奇数のとき}),\\ b_n+1 &(n\text{ が偶数のとき}) \end{cases}$ で定める。　 (1) $a_2,a_3,a_4$ ，および $b_2,b_3,b_4$ を求めよ。　 (2) 数列 $\{c_n\}$ を $c_n=a_{2n}$ で定める。 $\{c_n\}$ の一般項を求めよ。　 (3) 数列 $\{S_n\},\{T_n\}$ ，および $\{U_n\}$ をそれぞれ $\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{2n}a_k,\qquad T_n=\sum\limits _{k=1}^{2n}b_k,\qquad U_n=S_n-T_n$ で定める。　 (i) $\{S_n\}$ の一般項を求めよ。　 (ii) $a=1$ のとき， $\{U_n\}$ の一般項を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

数学確認 (1) 漸化式の添字の偶奇どおり、 $a_2=a+1,\ a_3=2a+2,\ a_4=2a+3,\qquad b_2=2a,\ b_3=2a+1,\ b_4=4a+2.$

(2) $c_1=a+1$ 、また $a_{2n+1}=2a_{2n}$ と $a_{2n+2}=a_{2n+1}+1$ から $c_{n+1}=2c_n+1$ 。よって $c_n=(a+2)2^{n-1}-1.$

(3)(i) $a_{2m-1}=c_m-1$ なので $a_{2m-1}+a_{2m}=(a+2)2^m-3$ 。これを $m=1,\dots,n$ で足すと $S_n=(a+2)(2^{n+1}-2)-3n.$

(3)(ii) 同様に $b_{2m-1}=(a+1)2^{m-1}-1$ 、 $b_{2m}=(a+1)2^m-2$ だから $T_n=3(a+1)(2^n-1)-3n.$ したがって $U_n=S_n-T_n=(1-a)(2^n-1)$ 。原文指定の $a=1$ では、すべての自然数 $n$ について $U_n=0$ 。

この問題で使う考え方

漸化式
等比数列の一般項と和

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