3宮崎大学 2015年 数学 第3問解答・解説

・ $b_1=0$ とし，正の数列の奇数番目の項を $$a_{2k-1}=3^{b_k}$$ と表す。これは $a_1=1$ に対して成り立ち，以下の漸化式から帰納的にすべての $k$ で成り立つ。$n=2k-1$ を問題の関係式に代入すると $$3^{1/3}a_{2k+1}^3=a_{2k-1}^4=3^{4b_k}.$$ 各項は正だから $$\displaystyle a_{2k+1}=3^{(4b_k-1/3)/3},\qquad b_{k+1}=\frac43b_k-\frac19.$$ この漸化式の定数項を除くため $c_k=b_k-1/3$ とおくと $$\displaystyle c_{k+1}=\frac43c_k,\qquad c_1=-\frac13.$$ よって $$\displaystyle c_k=-\frac13\left(\frac43\right)^{k-1},\qquad b_k=\frac13\left(1-\left(\frac43\right)^{k-1}\right).$$ したがって $$\displaystyle \boxed{a_{2k-1}=3^{\frac13\left(1-\left(\frac43\right)^{k-1}\right)}}.$$ この奇数番目の項は $a_1=1$ のみから決まり，偶数番目の初期値 $a_2=2$ は用いない。