3弘前大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) $A_n=(a_n,a_n)$ を通る $y$ 軸に平行な直線は $x=a_n$ である。これと $\ell_2:y=2x$ との交点は $B_n=(a_n,2a_n)$。$\ell_1$ に垂直な直線の傾きは $-1$ なので、$B_n$ を通るその直線は $$y-2a_n=-(x-a_n).$$ これと $y=x$ との交点の座標は $\displaystyle x=y=\frac32a_n$。したがって $\displaystyle a_{n+1}=\frac32a_n$、$a_1=1$ より $$\displaystyle a_n=\left(\frac32\right)^{n-1}.$$

(2)(i) $C_n=(c_n,c_n)$ を通る $x$ 軸に平行な直線は $y=c_n$ であり、$\ell_2:y=2x$ との交点は $\displaystyle D_n=(\frac12c_n,c_n)$。$D_n$ を通り $\ell_1$ に垂直な直線は $$\displaystyle y-c_n=-\left(x-\frac12c_n\right).$$ これと $y=x$ との交点の座標は $\displaystyle x=y=\frac34c_n$ だから、$\displaystyle c_{n+1}=\frac34c_n$。初項 $\displaystyle c_1=a_k=(\frac32)^{k-1}$ を用いると $$\displaystyle c_n=\left(\frac32\right)^{k-1}\left(\frac34\right)^{n-1}.$$

(ii) $$\displaystyle c_k=\left(\frac98\right)^{k-1},\qquad c_{k+1}=\frac34\left(\frac98\right)^{k-1}.$$ $c_k>1$ は $k\ge2$ と同値である。一方、$c_{k+1}<1$ は $\displaystyle (\frac98)^{k-1}<\frac43$ と同値。$k=2,3$ ではそれぞれ $\displaystyle \frac98<\frac43$、$\displaystyle \frac{81}{64}<\frac43$ で成立するが、$k=4$ では $\displaystyle \frac{729}{512}>\frac43$ であり、底 $\displaystyle \frac98>1$ より $k\ge4$ でも成立しない。したがって $$k=2,\ 3.$$