1弘前大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) $\sin$160^$\circ$=$\sin$20^$\circ$ である。また、和積の公式より $\sin$20^$\circ$+$\sin$40^$\circ$=2$\sin$30^$\circ$$\cos$10^$\circ$=$\cos$10^$\circ$=$\sin$80^$\circ$. したがって $\sin$40^$\circ$-$\sin$80^$\circ$+$\sin$160^$\circ$=0.

(2) $\sin$160^$\circ$=$\sin$20^$\circ$ と和積の公式から $\sin$80^$\circ$-$\sin$160^$\circ$=$\sin$80^$\circ$-$\sin$20^$\circ$=2$\cos$50^$\circ$$\sin$30^$\circ$=$\cos$50^$\circ$=$\sin$40^$\circ$. よって求める値は $\tan$40^$\circ$-4$\sin$40^$\circ$ である。ここで $\tan$40^$\circ$-4$\sin$40^$\circ$+$\sqrt3$=$\displaystyle \frac{\sin40^\circ-4\sin40^\circ\cos40^\circ+\sqrt3\cos40^\circ}{\cos40^\circ}$. 二倍角の公式と加法定理により、分子は $\sin$40^$\circ$-2$\sin$80^$\circ$+$\sqrt3$$\cos$40^$\circ$=2$\sin$100^$\circ$-2$\sin$80^$\circ$=0. ゆえに求める値は -$\sqrt3$ である。