2東邦大学 2023年 数学 第2問解答・解説

まず $x>0$、$x\ne1$ である。底の変換を用いると $$\displaystyle \frac1{\log_3x}-\frac1{\log_2x} =\frac{\log3-\log2}{\log x} =\frac{\log(3/2)}{\log x}=\frac13,$$ したがって $\log x=3\log(3/2)$、よって $x=(3/2)^3=27/8$。

次に $t=2^{1-3y}$ とおくと $t>0$ であり、 $$\displaystyle \frac1{2^{3y-1}}=t,\qquad \frac1{8^{2y-1}}=2^{3-6y}=2t^2.$$ したがって $2t^2+t-1=0$、すなわち $(2t-1)(t+1)=0$ である。$t>0$ より $t=1/2$。よって $2^{1-3y}=2^{-1}$ から $y=2/3$。

ここで $x=(3/2)^3$、$y=(3/2)^{-1}$ だから $$\displaystyle \log_xy=\frac{-1}{3}.$$ 以上より $\displaystyle x=\dfrac{27}{8}$、$\displaystyle \log_xy=-\dfrac13$。