東邦大学 2023年数学第5問解答・解説

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1問題

東邦大学2023年度第5問

共通指示：問題は1から10までの10問です。解答は解答用マークシートに記入してください。問題の文中の $\text{アイ}$ ， $\text{ウエオ}$ などには，符号 (-)，または数字 $(0\sim9)$ が入ります。ア，イ，ウ，…の一つひとつは，これらのいずれか一つに対応します。それらを解答用マークシートのア，イ，ウ，…で示された解答欄にマークして答えなさい。分数形で解答する場合は，それ以上約分できない形で答えなさい。また，符号は分子につけ，分母につけてはいけません。根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。

5 $x,y,z$ を整数とする。 $3x-23y=104$ を満たすとき， $|2x-3y|$ の最小値は $\text{キク}$ である。 $5x-9y-2z=18$ および $-6x+2y+3z=25$ を満たすとき， $|x+y+z|$ の最小値は $\text{ケコ}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \min|2x-3y|=17,\qquad \min|x+y+z|=19.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

まず $3x-23y=104$ を $3$ を法として見ると $y\equiv2\pmod3$ である。 $y=2+3k$ （ $k$ は整数）とおけば $\displaystyle x=\frac{104+23y}{3}=50+23k, \qquad 2x-3y=94+37k=-17+37(k+3).$ よってこの値は $k=-3$ で $-17$ 、 $k=-2$ で $20$ となり、以後は $37$ ずつ変わる。従って絶対値の最小値は $17$ 。

次に第1の式を3倍、第2の式を2倍して加えると、やはり $3x-23y=104$ を得る。従って $x=50+23k$ 、 $y=2+3k$ と表せる。これを $5x-9y-2z=18$ に代入すると $2z=5(50+23k)-9(2+3k)-18=214+88k, \quad z=107+44k.$ 従って $x+y+z=159+70k=19+70(k+2).$ 整数 $k$ に対し $k=-2$ なら値は $19$ 、 $k+2\ne0$ なら絶対値は少なくとも $51$ である。ゆえに最小値は $19$ 。

この問題で使う考え方

約数・倍数

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