2獨協医科大学 2024年 2日目 数学 第2問解答・解説

$c=a+1$ とおくと、$a>0$ より $c>1$ である。

(1) $a=1,b=3,y=-x$ のとき、$t=4^x>0$ とおけば、与式は $t+t^{-1}=3$ となる。従って $$\displaystyle t^2-3t+1=0,\qquad t=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.$$ さらに $2^x=\sqrt t$ であり、$\sqrt{(3\pm\sqrt5)/2}=(\sqrt5\pm1)/2$ だから $$\displaystyle x=\log_2\frac{\sqrt5\pm1}{2}.$$

(2) $y=1-x$ のとき、$u=c^{2x-1}>0$ とおくと、左辺は $c(u+u^{-1})$ となる。正の $u$ に対して $u+u^{-1}\geq2$ であり、その値は2以上のすべての実数をとる。実際、$u+u^{-1}=b/c$ は $u^2-(b/c)u+1=0$ と同値で、正の解をもつのは $b/c\geq2$ のときに限る。よって必要十分条件は $$b\geq2c=2a+2.$$

(3) $0\leq x,y\leq1$ なら$1\le c^{2x}\le c^2$、$1\le c^{2y}\le c^2$ であるため、$2\leq b\leq2c^2$ が必要である。逆にこの範囲なら $1\le b/2\le c^2$ である。関数 $c^{2x}$ は $0\leq x\leq1$ で連続に1以上 $c^2$ 以下のすべての値をとるので、ある $x$ を選び $c^{2x}=b/2$ とできる。$y=x$ とすれば条件を満たす。従って $$2\leq b\leq2c^2=2a^2+4a+2.$$

(4) $0\leq x\leq1$ の任意の値に対し、$u=c^{2x}$ は $1\le u\le c^2$ のすべての値をとる。$0\le y\le1$ で条件を満たす $y$ が存在するための必要十分条件は、$1\le b-u\le c^2$ である。これが$1\le u\le c^2$ を満たす全ての $u$ で成り立つためには、端点で $$b-c^2\geq1,\qquad b-1\leq c^2$$ が必要であり、合わせると $b=c^2+1$ となる。この値なら$1\le u\le c^2$ を満たす全ての $u$ に対して $1\le b-u\le c^2$ となるので十分でもある。従って $$b=(a+1)^2+1=a^2+2a+2.$$