4自治医科大学 2018年 数学 第4問解答・解説

$u=\log_x y$ とおく。条件 $y\ne1$ より $u\ne0$ であり、対数の性質から $\displaystyle \log_y x=\frac1u$ である。したがって $$\displaystyle u+\frac3u=4 \quad\text{すなわち}\quad (u-1)(u-3)=0,$$ よって $u=1$ または $u=3$。すなわち $y=x$ または $y=x^3$ である。

第2条件は、対数の定義より $$x^2+4y=x^3$$ と同値である。

$y=x^3$ の場合は $x^2+4x^3=x^3$、すなわち $x^2(1+3x)=0$ となるが、$x>0$ に反する。よって $y=x$ でなければならない。この場合、第2条件は $$x^2+4x=x^3 \quad\text{すなわち}\quad x^2-x-4=0$$ となり、正の解 $\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}>1$ があるため、与えられた定義域にも適合する。したがって $$y-x=0$$ （共通選択肢はア）。

検算：この正の解に対して $y=x$ なので $\log_x y=\log_y x=1$、また $x^2+4y=x^3$ より $\log_x(x^2+4y)=3$。両条件を満たし、求める差は確かに0である。