10自治医科大学 2018年 数学 第10問解答・解説

$z=\cos\theta+i\sin\theta$ が方程式の非実根である。係数が実数なので $\overline z$ も根であり、3つ目の根を実数 $r$ とする。$c=\cos\theta$ とおくと $$z+\overline z=2c,\qquad z\overline z=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.$$ 解と係数の関係から、根の和と2つずつの積の和について $$2c+r=-1,\qquad 1+2cr=-1.$$ したがって $r=-1-2c$ かつ $cr=-1$ であり、 $$c(-1-2c)=-1 \quad\text{すなわち}\quad (2c-1)(c+1)=0.$$ $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$ より $0<c<1$ なので $\displaystyle c=\frac12$、したがって $r=-2$。

根の積は $-a$ だから $$z\overline z r=1\cdot(-2)=-a,$$ よって $a=2$（共通選択肢はサ）。

検算：$a=2$ のとき $$x^3+x^2-x+2=(x+2)(x^2-x+1).$$ 二次式の根は $\displaystyle \frac{1\pm\sqrt3 i}{2}$ であり、$\displaystyle \frac{1+\sqrt3 i}{2}=\cos\frac\pi3+i\sin\frac\pi3$ は指定された範囲の虚数解である。