18自治医科大学 2018年 数学 第18問解答・解説

空和を $S_0=0$ とおくと、与えられた式は $n=0$ でも成り立つ。よって $n\ge1$ について $$\begin{aligned} a_n&=S_n-S_{n-1}\\ &=n^3-41n^2-\{(n-1)^3-41(n-1)^2\}\\ &=3n^2-85n+42. \end{aligned}$$ 隣接する項の差は $$a_{n+1}-a_n=6n-82.$$ $1\le n\le13$ では $6n-82\le-4<0$ なので数列は減少し、$n\ge14$ では $6n-82\ge2>0$ なので増加する。したがって最小値は $$m=a_{14}=3\cdot14^2-85\cdot14+42=-560$$ である。実際、$a_{13}=-556$、$a_{15}=-558$ となり、隣接差の符号による判定とも一致する。よって $$\displaystyle \left|\frac{m}{70}\right| =\left|\frac{-560}{70}\right| =8.$$ 答えは $\boxed{8}$、共通選択肢では $\boxed{\text{ラ}}$ である。