16自治医科大学 2018年 数学 第16問解答・解説

点 $A$ からのベクトルは $$\overrightarrow{AB}=(3,6,3),\qquad \overrightarrow{AC}=(3,9,7),\qquad \overrightarrow{AD}=(10,2,a-3)$$ である。$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は比例しないので、これらは平面 $ABC$ の方向を定める。4点が同一平面上にあるための条件は、ある実数 $u,v$ に対して $$\overrightarrow{AD}=u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}$$ となることである。成分を比較すると $$3u+3v=10,\qquad 6u+9v=2,\qquad 3u+7v=a-3.$$ 最初の2式から $$\displaystyle u+v=\frac{10}{3},\qquad 6u+9v=2$$ であり、$\displaystyle u=\frac{10}{3}-v$ を代入して $$\displaystyle 20-6v+9v=2 \quad\text{ならば}\quad v=-6,\qquad u=\frac{28}{3}.$$ 第3式より $$\displaystyle a-3=3\cdot\frac{28}{3}+7(-6)=28-42=-14,$$ したがって $a=-11$ である。よって $$|a+4|=|-11+4|=7.$$ 答えは $\boxed{7}$、共通選択肢では $\boxed{\text{ヤ}}$ である。