1北海道大学 2018年 数学 第1問解答・解説

与えられた点から $$\displaystyle \vec p=\left(-\frac{\sqrt3}{2}(1-t),\frac12(1-t),t\right),\qquad \vec q=\left(s-\frac12,\sqrt3\left(s-\frac12\right),-1\right).$$ したがって $$\displaystyle |\vec p|^2=(1-t)^2+t^2,\qquad |\vec q|^2=4\left(s-\frac12\right)^2+1.$$ また $$\displaystyle \vec p\cdot\vec q=-\frac{\sqrt3}{2}(1-t)\left(s-\frac12\right)+\frac{\sqrt3}{2}(1-t)\left(s-\frac12\right)-t=-t.$$ よって(1)の答えを得る。

(2)では $$\displaystyle \cos\angle(\vec p,\vec q)=\frac{-1/2}{(1/\sqrt2)\sqrt{1+4(s-1/2)^2}}=-\frac{1}{\sqrt2\sqrt{1+4(s-1/2)^2}}.$$ これが$-1/\sqrt2$となるためには$\sqrt{1+4(s-1/2)^2}=1$、すなわち$s=1/2$。

(3)で$\displaystyle x=s-\frac12$とおく。水平平面での方向ベクトル$\displaystyle u=(-\frac{\sqrt3}{2},\frac12)$、$v=(1,\sqrt3)$は$u\cdot v=0$、$|u|=1$、$|v|=2$を満たす。したがって水平成分の差の大きさの二乗は$(1-t)^2+4x^2$であり、 $$|\vec p-\vec q|^2=(1-t)^2+4x^2+(t+1)^2=2t^2+2+4x^2\ge 2.$$ 等号は$t=0, x=0$、すなわち$\displaystyle t=0,s=\frac12$で成立する。ゆえに最小値は$\sqrt2$。