2北海道大学 2018年 数学 第2問解答・解説

第2問 $z=x+iy\ (x,y\text{ は実数})$、$r^2=x^2+y^2$ とおく（$z\ne0$ なので $r^2>0$）。

(1) $$\displaystyle \operatorname{Im}\left(z+\frac4z\right) =y\left(1-\frac4{r^2}\right).$$ これが $0$ となる条件は $y=0$ または $r^2=4$ である。したがって、Dは複素数平面上では原点を除く実軸と、原点中心・半径 $2$ の円周である。

(2) 方程式を $$\displaystyle k\left(z+\frac4z+8\right)=i\left(z-\frac4z\right)$$ とする。$z\in D$ なら $z+4/z$ は実数であり、左辺は実数である。よって右辺も実数、すなわち $$\displaystyle \operatorname{Im}\left(i\left(z-\frac4z\right)\right) =x\left(1-\frac4{r^2}\right)=0$$ でなければならない。

まず $y=0$ とする。$x\ne0$ だから、この条件から $x^2=4$、すなわち $x=\pm2$ である。元の方程式に代入すると、どちらの場合も $k=0$ となる。

次に $r^2=4$ とする。このとき $4/z=\overline z$ なので $$\displaystyle z+\frac4z=2x,\qquad i\left(z-\frac4z\right)=-2y.$$ 元の方程式は $k(x+4)=-y$ と同値である。これと $x^2+y^2=4$ を合わせると $$x^2+k^2(x+4)^2=4,$$ すなわち $$(1+k^2)x^2+8k^2x+16k^2-4=0.$$ この二次方程式が実数解 $x$ をもつ条件は判別式が $0$ 以上であることだから、 $$\Delta=(8k^2)^2-4(1+k^2)(16k^2-4) =16(1-3k^2)\ge0.$$ よって $-1/\sqrt3\le k\le1/\sqrt3$。

逆にこの範囲なら判別式が $0$ 以上なので実数解 $x$ がある。その $x$ に対して $y=-k(x+4)$ とおくと $x^2+y^2=4$ となり、$z=x+iy$ は円周上の点で元の方程式を満たす。したがってこの範囲のすべての $k$ が実現する。実軸上から得た $k=0$ も範囲内に含まれる。