21自治医科大学 2018年 数学 第21問解答・解説

$C_1,C_2$ をそれぞれ $$f(x)=x^3-x^2-12x-1,\qquad g(x)=-x^3+2x^2+a$$ のグラフとする。2曲線が接するには、ある接点の $x$ 座標 $r$ で $f(r)=g(r)$ かつ $f'(r)=g'(r)$ が成り立つ。そこで差 $$h(x)=f(x)-g(x)=2x^3-3x^2-12x-(a+1)$$ を考えると、接点では $h(r)=0$ かつ $h'(r)=0$ である。 $$h'(x)=6x^2-6x-12=6(x-2)(x+1)$$ より、$r=2$ または $r=-1$ である。それぞれ $h(r)=0$ に代入すると $$h(2)=-21-a=0\quad\text{より}\quad a=-21,$$ $$h(-1)=6-a=0\quad\text{より}\quad a=6.$$ $a$ は自然数なので $a=6$ だけが条件に合う。

検算として $a=6$ のとき $$f(x)-g(x)=2x^3-3x^2-12x-7=(x+1)^2(2x-7)$$ となり、$x=-1$ で差は重解をもつ。実際、$f(-1)=g(-1)=9$、また $f'(-1)=g'(-1)=-7$ であり、両曲線は点 $(-1,9)$ で同じ接線 $y-9=-7(x+1)$ をもつ。したがって答えは $6$（選択肢マ）である。