III関西医科大学 2019年 数学 第III問解答・解説

$A_n=(x_n,f(x_n))$（$x_n>0$）とおく。$f^{\prime}(x)=2x+b>0$ なので、$x>0$ で $f$ は単調に増加する。点 $A_n$ における接線の傾きは $2x_n+b$ であり、法線の傾きは $\displaystyle -\dfrac{1}{2x_n+b}$ である。法線の式に $x=0$ を代入すると、その $y$ 軸との交点の $y$ 座標は $$\displaystyle f(x_n)+\frac{x_n}{2x_n+b}=a_n+\frac{x_n}{2x_n+b}$$ となる。よって $$\displaystyle a_{n+1}-a_n=h(x_n),\qquad h(x)=\frac{x}{2x+b}>0.$$ 特に $a_{n+1}>a_n$ であるから、$f$ の単調増加性より $x_{n+1}>x_n$ でもある。

もし $b>0$ ならば $$\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{b}{(2x+b)^2}>0$$ なので、$0<u<v$ を満たす任意の実数 $u,v$ について $h(u)<h(v)$ が成り立つ。したがって $x_{n+1}>x_n$ から $$a_{n+2}-a_{n+1}=h(x_{n+1})>h(x_n)=a_{n+1}-a_n$$ となり、$\{a_n\}$ が等差数列であることに反する。よって $b=0$ である。

$b=0$ とすると $\displaystyle h(x)=\dfrac12$ だから、$\displaystyle d=a_{n+1}-a_n=\dfrac12$ である。また $a_1=f(x_1)=x_1^2+2$ かつ $x_1>0$ より $a>2$ が必要である。逆に $a>2$ ならば $x_1=\sqrt{a-2}>0$ とでき、以後 $\displaystyle a_n=a+\dfrac{n-1}{2}>2$ および $x_n=\sqrt{a_n-2}>0$ と定められる。各段階で法線の $y$ 軸との交点は $\displaystyle a_n+\dfrac12=a_{n+1}$ となるので、条件を満たす。