I関西医科大学 2019年 数学 第I問解答・解説

53で割ると5余り、61で割ると6余る自然数を $N$ とする。61で割った商を $r$ とおけば $$N=61r+6$$ である。これを53で割った余りが5だから、 $$61r+6\equiv 5\pmod{53},\qquad 8r\equiv -1\equiv 52\pmod{53}.$$ ここで $8\cdot20=160\equiv1\pmod{53}$ より、$r\equiv20\cdot52\equiv33\pmod{53}$ である。したがって $r=33+53k$（$k$ は整数）と書ける。$r$ は商なので $r\geq0$ であり、最小の可能値は $r=33$ である。このとき $$N=61\cdot33+6=2019.$$ 実際、$2019=53\cdot38+5=61\cdot33+6$ だから、条件を満たす最小の自然数は $2019$ である。