II関西医科大学 2019年 数学 第II問解答・解説

以下、$c=\cos\theta$, $s=\sin\theta$ とおく。成分を用いて内積と大きさを計算すると $$\begin{aligned} \vec a\cdot\vec b&=(2c-s)(-c+2s)+(c+2s)(2c+s)=10cs,\\ |\vec a|^2&=(2c-s)^2+(c+2s)^2=5(c^2+s^2)=5,\\ |\vec b|^2&=(-c+2s)^2+(2c+s)^2=5(c^2+s^2)=5. \end{aligned}$$

(1) 垂直である条件は $\vec a\cdot\vec b=0$ である。$0<\theta<\pi$ より $s>0$ だから $10cs=0$ から $c=0$ となり、$\displaystyle \theta=\dfrac{\pi}{2}$ である。

(2) 成分ごとに加えると $$2\vec a+\vec b=(3c,\,4c+5s)$$ であり、 $$|2\vec a+\vec b|^2=9c^2+(4c+5s)^2=25+40cs=25+20\sin2\theta.$$ よって $|2\vec a+\vec b|=\sqrt{25+20\sin2\theta}$ である。$2\theta$ は $0<2\theta<2\pi$ を動くので、$\sin2\theta$ の値域は $-1\le\sin2\theta\le1$ である。したがって $$\sqrt5\leq |2\vec a+\vec b|\leq3\sqrt5.$$ 端の値はそれぞれ $\displaystyle 2\theta=\dfrac{3\pi}{2}$ および $\displaystyle 2\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のときに実際にとる。

(3) $|\vec a|^2=|\vec b|^2=5$ と $\vec a\cdot\vec b=10cs$ を使うと、垂直条件は $$0=(2\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-k\vec b) =10+10cs-k(5+20cs)$$ となる。ここで $\displaystyle 2cs=\sin 2\theta=\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12$ より $\displaystyle cs=\dfrac14$ だから、 $$\displaystyle 0=\frac{25}{2}-10k,\qquad k=\frac54.$$ この値を上の内積式に代入すれば垂直条件を満たすことも確かめられる。