IV関西医科大学 2019年 数学 第IV問解答・解説

分母 $1+t^2$ はすべての実数 $t$ について正である。

(1) $x=0$ となるのは $1-t^2=0$ のときで、$t=\pm1$ である。また $$\displaystyle y=t\frac{1-t^2}{1+t^2}=0$$ となるのは $t=0$ または $1-t^2=0$ のときだから、$t=0,\pm1$ である。

(2) $$\displaystyle x=\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{2}{1+t^2}-1.$$ $t^2\geq0$ より $\displaystyle 0<\dfrac{2}{1+t^2}\leq2$ である。最大値2は $t=0$ でとり、0には有限の実数 $t$ ではならない。したがって $x$ の値域は $-1<x\leq1$ である。

(3) 商の微分により $$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{(1-3t^2)(1+t^2)-2t(t-t^3)}{(1+t^2)^2} =\frac{1-4t^2-t^4}{(1+t^2)^2}.$$ 分子を $u=t^2\ (u\geq0)$ と見て $1-4u-u^2=0$ を解くと、$u=\sqrt5-2$ である。分母は常に正であり、分子は $u<\sqrt5-2$ で正、$u>\sqrt5-2$ で負となる。よって $t=-\sqrt{\sqrt5-2}$ で極小、$t=\sqrt{\sqrt5-2}$ で極大をとる。いずれも $t^2=\sqrt5-2$ なので、対応する $x$ は $$\displaystyle x=\frac{1-(\sqrt5-2)}{1+(\sqrt5-2)}=\frac{3-\sqrt5}{\sqrt5-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$

(4) $x(-t)=x(t)$, $y(-t)=-y(t)$ だから曲線は $x$ 軸対称である。$t=-1,1$ はともに原点を与え、$t=0$ は $(1,0)$ を与える。$-1<t<1$ の二つの枝が原点と $(1,0)$ を結んで閉じた部分をつくる。$t>1$ の枝は原点から左下へ進み、$t\to+\infty$ で $x\to-1$, $y\to-\infty$ となる。$t<-1$ の枝は原点から左上へ進み、$t\to-\infty$ で $x\to-1$, $y\to+\infty$ となる。したがって外側の二枝は漸近線 $x=-1$ に沿って無限に伸びる。概形は次のとおりである。

面積は $x$ 軸対称性を用い、上半分を $0\leq t\leq1$ で計算する。ここで $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\frac{4t}{(1+t^2)^2},\qquad y=\frac{t(1-t^2)}{1+t^2}$$ だから、囲まれた部分の面積 $S$ は $$\displaystyle S=2\int_0^1 y\left(-\frac{dx}{dt}\right)dt =8\int_0^1\frac{t^2(1-t^2)}{(1+t^2)^3}\,dt.$$ $t=\tan u$（$\displaystyle 0\leq u\leq\dfrac{\pi}{4}$）と置換すると $$\displaystyle \int_0^1\frac{t^2(1-t^2)}{(1+t^2)^3}\,dt =\int_0^{\pi/4}(\sin^2u\cos^2u-\sin^4u)\,du =\left[\frac{-u+\sin2u-\frac14\sin4u}{4}\right]_0^{\pi/4} =\frac14-\frac{\pi}{16}.$$ したがって $$\displaystyle S=8\left(\frac14-\frac{\pi}{16}\right)=2-\frac{\pi}{2}=\frac{4-\pi}{2}.$$