3神戸大学 2019年 数学 第3問解答・解説

【追加仮定（原文に明記なし）】この問題のさいころは、各目が等確率で出る公平なさいころとします。

(1) さいころの出目をそれぞれ $a,b$ とする。全事象は順序を区別した $36$ 通りである。$n=2$ のとき、$ab\equiv1\pmod2$ となるのは $a,b$ がともに奇数の場合であり、各々 $3$ 通りずつだから $\displaystyle P_2=\frac{3\cdot3}{36}=\frac14$ である。$n=3$ のとき、積が $1$ と合同となるのは、両方の目が $3$ で割って $1$ 余る場合、または両方が $2$ 余る場合である。各場合は $2\cdot2$ 通りなので、$\displaystyle P_3=\frac{2\cdot2+2\cdot2}{36}=\frac29$ である。$n=4$ のとき、積が $1$ と合同となるには両方の目が奇数で、かつ両者がともに $1$ と合同、またはともに $3$ と合同であればよい。前者は $2\cdot2$ 通り、後者は $1\cdot1$ 通りだから、$\displaystyle P_4=\frac{2\cdot2+1\cdot1}{36}=\frac5{36}$ である。

(2) $1\le ab\le36$ であり、$ab\equiv1\pmod n$ かつ $n\ge36$ である。$ab$ は $1,n+1,2n+1,\ldots$ のいずれかだが、$n+1\ge37$ なので $ab=1$ に限られる。したがって該当するのは $(a,b)=(1,1)$ の1通りであり、$\displaystyle P_n=\frac1{36}$ である。

(3) $\displaystyle P_n=\frac1{18}$ となるには、積が $1$ と合同となる順序付きの組が $2$ 通り必要である。積が $1$ となる $(1,1)$ は常に該当するため、それ以外には積が $1$ と合同となる組がちょうど1通りだけ必要である。積 $t$ ごとの組の数を数えると、$1$ から $36$ までの積とその組数は $\begin{array}{c|rrrrrrrrrrrrrrrrrr} t&1&2&3&4&5&6&8&9&10&12&15&16&18&20&24&25&30&36\\ \hline \text{組数}&1&2&2&3&2&4&2&1&2&4&2&1&2&2&2&1&2&1 \end{array}$ である。したがって、$(1,1)$ 以外で組数が1である積は $9,16,25,36$ に限られる。これらの積をそれぞれ $t$ とすると、$t\equiv1\pmod n$ より $n$ は $t-1$ の約数である。よって候補は $n\mid8,15,24,35$ から得られる $2,3,4,5,6,7,8,12,15,24,35$ に限られる。各候補について、積が $1$ と合同となる積と組数をまとめると、$\begin{array}{c|l|r} n& t\equiv1\pmod n\text{ となる積 }t&\text{組数}\\ \hline 2&1,3,5,9,15,25&9\\ 3&1,4,10,16,25&8\\ 4&1,5,9,25&5\\ 5&1,6,16,36&7\\ 6&1,25&2\\ 7&1,8,15,36&6\\ 8&1,9,25&3\\ 12&1,25&2\\ 15&1,16&2\\ 24&1,25&2\\ 35&1,36&2\\ \end{array}$ となる。組数がちょうど $2$ となるのは $n=6,12,15,24,35$ である。

以上より、求める答えは $\displaystyle P_2=\frac14, P_3=\frac29, P_4=\frac5{36}$、$n\ge36$ では $\displaystyle P_n=\frac1{36}$、および $n=6,12,15,24,35$ である。