金沢医科大学 2019年数学第1問解答・解説

1問題

金沢医科大学2019年度第1問

3個のさいころ $A,B,C$ を同時に投げるとき，出る目をそれぞれ $a,b,c$ とする。これらの値に対して分数 $\displaystyle p=\frac{5a+2b-c}{100}$ を考える。

(1) $p$ が最大になるとき， $\displaystyle p=\frac{\boxed{\text{アイ}}}{100}$ であり， $p$ が最小になるとき， $\displaystyle p=\frac{\boxed{\text{ウ}}}{100}$ である。

(2) $\displaystyle p=\frac{19}{50}$ になる確率は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカキ}}}$ である。

(3) $p$ を既約分数で表したとき，分母が4になる確率は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコサ}}}$ である。

(4) $p$ を既約分数で表したとき，分母が5になる確率は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセ}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad p_{\max}=\frac{41}{100},\quad p_{\min}=\frac1{100}.\qquad$ (2) $\displaystyle \quad \frac1{108}.\qquad$ (3) $\displaystyle \quad \frac7{216}.\qquad$ (4) $\displaystyle \quad \frac1{27}.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

全事象は3個のさいころの順序つきの出目 $(a,b,c)$ であり、 $6^3=216$ 通りが同様に確からしい。分子を $N=5a+2b-c$ とおくと、 $p=N/100$ である。

(1) $N$ は $a,b$ が最大、 $c$ が最小のとき最大となるので、 $\displaystyle N_{\max}=5\cdot6+2\cdot6-1=41$ 。逆に $a,b$ が最小、 $c$ が最大のとき最小となり、 $\displaystyle N_{\min}=5\cdot1+2\cdot1-6=1$ 。従って最大値は $41/100$ 、最小値は $1/100$ 。

(2) $p=19/50=38/100$ は $N=38$ と同値である。 $5a+2b-c=38$ を満たすさいころの目は $(6,5,2),(6,6,4)$ の2通り。従って確率は $2/216=1/108$ 。

(3) $N/100$ を既約分数にしたときの分母は $100/\gcd(N,100)$ 。分母が4となる条件は $\gcd(N,100)=25$ 。(1)より $1\le N\le41$ なので、これは $N=25$ の場合に限る。該当する出目は $(3,6,2),\ (4,3,1),\ (4,4,3),\ (4,5,5),\ (5,1,2),\ (5,2,4),\ (5,3,6)$ の7通りである。よって確率は $7/216$ 。

(4) 分母が5となる条件は $\gcd(N,100)=20$ 。範囲 $1\le N\le41$ で該当するのは $N=20,40$ 。 $N=20$ の出目は $(2,6,2),\ (3,3,1),\ (3,4,3),\ (3,5,5),\ (4,1,2),\ (4,2,4),\ (4,3,6)$ の7通り、 $N=40$ の出目は $(6,6,2)$ の1通りである。従って確率は $8/216=1/27$ 。

この問題で使う考え方

積の法則
確率の基本法則
約数・倍数

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