3金沢医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

小数表示では $a_n$ の $10^{-(n+1)}$ の位にある末尾の1が、次の項では2になり、さらに $10^{-(n+2)}$ の位に新しい1が加わる。従って $$\displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac1{10^{n+1}}+\frac1{10^{n+2}}=\frac{11}{10^{n+2}}.$$ よって $\text{ヤユ}=11,\ \text{ヨラ}=10,\ \text{リ}=2$。

初項 $a_1=11/100$ から $$\displaystyle a_n=\frac{11}{100}+\sum\limits _{j=1}^{n-1}\frac{11}{10^{j+2}} =\frac{11}{100}+\frac{11}{900}\left(1-\frac1{10^{n-1}}\right) =\frac{11}{90}\left(1-\frac1{10^n}\right).$$ 従って $\text{ルレ}=11,\ \text{ロワ}=90,\ \text{ヲあ}=10$。

初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると $$\displaystyle S_n=\frac{11}{90}\sum\limits _{k=1}^{n}\left(1-\frac1{10^k}\right) =\frac{11}{810}\left(9n-1+\frac1{10^n}\right).$$ $n=24$ では $9n-1=215$ なので $\displaystyle S_{24}<\frac{11\cdot216}{810}<3$（実際には $11(215+10^{-24})<2430$）。一方、$n=25$ では $9n-1=224$ より $\displaystyle S_{25}>\frac{11\cdot224}{810}>3$。各 $a_n>0$ なので $S_n$ は増加し、3を超える最小の整数は $25$。