2金沢医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

直線 $\sqrt3x-2y-8=0$ の傾きは $\sqrt3/2$ である。直線の傾き角を $\theta$ とすると、角 $\pi/3$ をなす2直線の傾きは $$\displaystyle \tan\left(\theta+\frac\pi3\right) =\frac{\sqrt3/2+\sqrt3}{1-(\sqrt3/2)\sqrt3}=-3\sqrt3, \qquad \tan\left(\theta-\frac\pi3\right) =\frac{\sqrt3/2-\sqrt3}{1+(\sqrt3/2)\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{5}.$$ 点 $A=(2\sqrt3,-1)$ を通るため、切片はそれぞれ $$\displaystyle -1-(-3\sqrt3)(2\sqrt3)=17,\qquad -1-\left(-\frac{\sqrt3}{5}\right)(2\sqrt3)=\frac15.$$ 従って2直線の方程式は $y=-3\sqrt3x+17$ と $\displaystyle y=-\frac{\sqrt3}{5}x+\frac15$。直線②は前者なので $y$ 軸との交点は $B=(0,17)$。

直線①に垂直な直線の傾きは $-2/\sqrt3$。点 $B$ を通る垂線は $\displaystyle y=-\frac2{\sqrt3}x+17$ であり、直線①との交点を $H$ とすると $$\displaystyle \sqrt3x-2\left(-\frac2{\sqrt3}x+17\right)-8=0$$ から $H=(6\sqrt3,5)$。対称点は $C=2H-B=(12\sqrt3,-7)$。

平行四辺形 $ABPC$ では対角線 $AP$ と $BC$ が互いの中点で交わるので、位置ベクトルについて $A+P=B+C$。従って $$P=B+C-A=(10\sqrt3,11).$$ この点が直線①上にあることも $\sqrt3(10\sqrt3)-2\cdot11-8=0$ から確かめられる。

隣り合う辺のベクトルは $$\overrightarrow{AB}=(-2\sqrt3,18),\qquad \overrightarrow{AC}=(10\sqrt3,-6).$$ どちらの長さも $\sqrt{12+324}=4\sqrt{21}$、内積は $-60-108=-168$。従ってなす角の余弦は $-168/(4\sqrt{21})^2=-1/2$、その角の正弦は $\sqrt3/2$。よって平行四辺形の面積は $$\displaystyle |AB||AC|\sin\angle BAC=(4\sqrt{21})^2\frac{\sqrt3}{2}=168\sqrt3.$$