4金沢医科大学 2019年 数学 第4問解答・解説

$f(x)=ax+\sqrt{b-x^2}$ の定義域は $-\sqrt b\le x\le\sqrt b$ である。定義域の内点では $$\displaystyle f'(x)=a-\frac{x}{\sqrt{b-x^2}}.$$ $x<0$ では $f'(x)>0$。$x>0$ では $x/\sqrt{b-x^2}$ が増加するため、導関数は一度だけ0となり、その点で極大となる。従って最小値は端点で生じ、$f(-\sqrt b)=-a\sqrt b$、$f(\sqrt b)=a\sqrt b$ より $$k=-\sqrt b,\qquad a\sqrt b=\sqrt3. \tag{1}$$ 極大点 $x=3/2$ では $f'(3/2)=0$ だから $$\displaystyle a=\frac{3/2}{\sqrt{b-9/4}}.$$ (1)より $b=3/a^2$。これを代入して平方すると $$\displaystyle a^2\left(\frac3{a^2}-\frac94\right)=\frac94, \qquad 3-\frac94a^2=\frac94, \qquad a^2=\frac13.$$ $a>0$ なので $a=1/\sqrt3=\sqrt3/3$、$b=9$、$k=-3$。条件の極大値も $$\displaystyle f(3/2)=\frac{3}{2\sqrt3}+\sqrt{9-\frac94}=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{3\sqrt3}{2}=2\sqrt3$$ と一致する。

$M=(-3,-\sqrt3)$、$N=(3,\sqrt3)$ なので直線 $MN$ は $y=(\sqrt3/3)x$。曲線との差は $\sqrt{9-x^2}$ であり、両者は $x=-3,3$ で交わる。従って囲まれた面積は半径3の半円の面積 $$\displaystyle \int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx=\frac92\pi.$$

曲線が $x$ 軸と交わる点を求める。根は負なので、$f(x)=0$ を平方して $$\displaystyle \frac{x^2}{3}=9-x^2,\qquad x_0=-\frac{3\sqrt3}{2}.$$ $-3\le x\le x_0$ では囲まれた部分は $x$ 軸より下、$x_0\le x\le0$ では上側の高さは $f(x)=x/\sqrt3+\sqrt{9-x^2}$、$0\le x\le3$ では囲まれた部分全体が上側で高さは $\sqrt{9-x^2}$。従って求める面積は $$\displaystyle \int_{x_0}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx+\frac1{\sqrt3}\int_{x_0}^{0}x\,dx.$$ $x=3\sin\theta$ と置くと、前半の積分は $$\displaystyle 9\int_{-\pi/3}^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta=\frac{15}{4}\pi+\frac{9\sqrt3}{8},$$ 後半は $-9\sqrt3/8$。これらを加えると、$x$ 軸より上側の面積は $15\pi/4$ である。