16自治医科大学 2014年 数学 第16問解答・解説

等比数列の中項の性質と $a,b,c>0$ より $$\displaystyle \left(\frac2b\right)^2=\frac1a\cdot\frac1c, \qquad b^2=4ac, \qquad b=2\sqrt{ac}.$$ また $a,b,3c$ がこの順で等差数列だから $$2b=a+3c.$$ $t=\sqrt{a/c}$ とおくと $t>0$ であり、上の2式を $c$ で割って $$4t=t^2+3, \qquad (t-1)(t-3)=0.$$ 従って $t=1$ または $t=3$ である。条件 $a\ne c$ により $t=1$ は除かれるので $t=3$、したがって $$\displaystyle \frac ac=t^2=9.$$ このとき $b=6c$、$a=9c$ であり、$c>0$ から $a,b,c$ は互いに異なる。よって条件と矛盾しない。選択肢の数値9に対応する記号はワである。