13自治医科大学 2014年 数学 第13問解答・解説

問題 円 $C_1:x^2+y^2=1$、円 $C_2:(x-4)^2+y^2=25$ に対し、点 $R=(2,0)$ から $C_1$ に引いた負の傾きの接線 $L$ が $C_2$ を切る弦 $PQ$ の長さを $a$ とする。$a/\sqrt6$ を求める。

解答 直線 $L$ の傾きを $m\ (m<0)$ とすると、$R=(2,0)$ を通るので $y=m(x-2)$、すなわち $mx-y-2m=0$ である。原点からこの直線までの距離は $$\displaystyle \frac{|2m|}{\sqrt{m^2+1}}.$$ これが円 $C_1$ の半径 $1$ に等しいことが接線の条件なので $$\displaystyle \frac{2|m|}{\sqrt{m^2+1}}=1\quad\text{より}\quad 4m^2=m^2+1\quad\text{より}\quad m^2=\frac13.$$ 傾きは負だから $m=-1/\sqrt3$ である。

円 $C_2$ の中心 $(4,0)$ から $L$ までの距離は $$\displaystyle \frac{|4m-2m|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{2|m|}{\sqrt{m^2+1}}=1.$$ 中心から弦へ下ろした垂線は弦を二等分する。半径が $5$、中心から弦までの距離が $1$ だから、弦の半分の長さは $\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}$。よって $$\displaystyle a=2\sqrt{24}=4\sqrt6,\qquad \frac{a}{\sqrt6}=4.$$

最終結果 $a/\sqrt6=4$。選択肢は $\boxed{\text{ナ}}$（値 $4$）。