2香川大学 2015年 数学 第2問解答・解説

座標を $M=(0,0)$、$BC$ を $x$ 軸とする。二等辺三角形より $AM\perp BC$ であり、$BM=3$ だから、$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{25-9}=4$。よって $A=(0,4), B=(-3,0), C=(3,0)$ である。辺 $AB$ の方程式は $4x-3y+12=0$ で、その法線ベクトルの長さは $5$ である。　 1. 以上から $AM=4$。　 2. 円 $O_1,O_2$ の中心はともに $BC$ から距離 $R$ にあるので、中心の $y$ 座標は $R$ である。対称性により中心は $y$ 軸について対称で、外接する2円の中心間距離は $2R$ だから、中心はそれぞれ $(-R,R),(R,R)$ となる。円 $O_1$ の中心から直線 $AB$ までの距離も半径 $R$ なので、$\displaystyle \frac{|4(-R)-3R+12|}{5}=R$。中心は三角形内にあり、符号は正だから $12-7R=5R$、したがって $R=1$。　 3. 円 $O_3$ の中心は $AB,AC$ から等距離にあるので $y$ 軸上にあり、これを $(0,y)$ とする。辺 $AB$ までの距離が $r$ であるから $\displaystyle \frac{12-3y}{5}=r$、すなわち $\displaystyle y=4-\frac{5r}{3}$。円 $O_1$ の中心は $(-1,1)$ であり、円 $O_3$ と外接する条件より、中心間距離は $1+r$ である。よって $1+(y-1)^2=(1+r)^2$。ここに $\displaystyle y=4-\frac{5r}{3}$ を代入すると $16r^2-108r+81=0$。したがって $\displaystyle r=\frac{27\pm9\sqrt5}{8}$。複号が正の値では $r>12/5$ となり、$y=4-5r/3<0$ となるため、中心が $BC$ より下に来て条件に合わない。よって $\displaystyle r=\frac{27-9\sqrt5}{8}$。