1香川大学 2015年 数学 第1問解答・解説

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立方体の辺の長さは1なので、$\vec a,\vec c,\vec d$ は互いに垂直な単位ベクトルである。図の頂点の位置ベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac12\vec c,\quad \overrightarrow{OR}=\vec a+r\vec d,\quad \overrightarrow{OS}=\vec c+\vec d+s\vec a$$ となる。ここで辺上の距離より $0\le r,s\le1$。

(1) 位置ベクトルの差をとると $$\displaystyle \overrightarrow{MR}=\vec a-\frac12\vec c+r\vec d,\qquad \overrightarrow{MS}=s\vec a+\frac12\vec c+\vec d.$$

(2) 互いに垂直な単位ベクトルどうしの内積を計算して $$\displaystyle \overrightarrow{MR}\cdot\overrightarrow{MS} =s-\frac14+r,\quad |\overrightarrow{MR}|^2=r^2+\frac54,\quad |\overrightarrow{MS}|^2=s^2+\frac54.$$ したがって $$\displaystyle \cos\theta= \frac{\overrightarrow{MR}\cdot\overrightarrow{MS}} {|\overrightarrow{MR}|\,|\overrightarrow{MS}|} =\frac{r+s-\frac14}{\sqrt{(r^2+\frac54)(s^2+\frac54)}}.$$

(3) $\angle RMS=90^\circ$ より内積が0で、$\displaystyle r+s=\frac14$。二等辺条件 $|MR|=|MS|$ と長さの2乗の式から $r^2=s^2$。$r,s\ge0$ なので $r=s$。従って $$\displaystyle r=s=\frac18.$$

(4) 頂点の位置から $$\displaystyle \overrightarrow{RM}=-\vec a+\frac12\vec c-r\vec d,\qquad \overrightarrow{RS}=(s-1)\vec a+\vec c+(1-r)\vec d.$$ ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow{RM}\cdot\overrightarrow{RS} =1-s+\frac12-r(1-r) =r^2-r+\frac32-s.$$ $s\le1$ を使えば $$\displaystyle \overrightarrow{RM}\cdot\overrightarrow{RS} \ge r^2-r+\frac12 =\left(r-\frac12\right)^2+\frac14>0.$$ したがって $\angle MRS$ は常に鋭角である。

独立計算した4小問の式と結論は採用答案A063.jsonと一致する。

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立方体の直交辺を基底とする空間ベクトル・内積の高校範囲。各小問の位置ベクトル、内積、平方長を具体的に展開した。第4問では辺パラメータの $s\le1$ を使って正の下界を示す。